[L3]Mesure finie, ensembles dénombrables...

[Romain-des-Bois]

Bonjour !

je viens chercher un peu d'aide Il me semble jouer au chat qui se mord la queue... Vous allez voir.

Soit une mesure finie sur

On se donne une classe d'ensemble disjoints dans

On veut montrer que est au plus dénombrable...

On pose

et par récurrence, on montre que :

n=1



et là, j'aimerais bien dire (comme les sont disjoints) :


malheureusement, cette propriété n'est vraie que lorsqu'on considère une union dénombrable... il est évident que est dénombrable car sinon, on aurait indénombrable (et on veut démontrer le contraire (là, je suppose ce qu'on veut démontrer))...

Je pense qu'il y a un élément (un autre) qui me permet de dire que est dénombrable... mais quoi ?

Quand on procède à la récurrence, c'est pareil, il me faut dire que est dénombrable pour conclure de la manière similaire...

Après j'arrive bien sûr à conclure


Peut-être, je me trompe complètement de voie, mais quand même...


Merci

Romain
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[Médiat]

Il me semble que tu n'utilises pas le fait que ta mesure est finie.
Avec cette hypothèse J₁ est non seulement dénombrable, mais fini, en tout cas il me semble.
Et pour le reste de la récurrence c'est un peu pareil.

[Romain-des-Bois]

Merci

Si, j'utilise le fait que la mesure est finie : ( ) pour dire que chacun des est dénombrable.

Je pense que cette hypothèse ne sert qu'à ça

Je ne vois pas ce qui entraine que est dénombrable (et fini en plus !) ?


Romain

[invite35452583]

Raisonne par l'absurde, si Jn n'est pas fini, alors tu peux prendre une sous-partie J'n de Jn de cardinal et tu aboutis à une contradiction.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Médiat]

Si, j'utilise le fait que la mesure est finie : ( ) pour dire que chacun des est dénombrable.

Je ne vois pas ce qui entraine que est dénombrable [...] ?

Je ne comprends plus : si tu as démontré que chacun des est dénombrable, c'est que l'est. Qu'est-ce que je n'ai pas compris ?

D'autre part si n'est pas dénombrable, on peut en extraire une partie dénombrable dont la mesure sera la somme des mesures de chacun des dont la mesure est supérieure à 1, cette somme dénombrable de nombres supérieurs ou égaux à 1 ne peut être inférieure à un entier donné... Et si je ne peux extraire une partie dénombrable c'est que est fini.

[EDIT] : grillé par homotopie

[Romain-des-Bois]

Raisonne par l'absurde, si Jn n'est pas fini, alors tu peux prendre une sous-partie J'n de Jn de cardinal et tu aboutis à une contradiction.

D'autre part si n'est pas dénombrable, on peut en extraire une partie dénombrable dont la mesure sera la somme des mesures de chacun des dont la mesure est supérieure à 1, cette somme dénombrable de nombres supérieurs ou égaux à 1 ne peut être inférieure à un entier donné...

[EDIT] : grillé par homotopie

Vous me proposez la même chose Merci !

Je ne comprends plus : si tu as démontré que chacun des est dénombrable, c'est que l'est. Qu'est-ce que je n'ai pas compris ?

Il me semble que tu joues toi aussi au chat

Pour montrer que le cardinal de chacun des Jn est inférieur à , j'ai du supposer que les Jn sont dénombrables


Romain (qui ne sait pas s'il a été clair...)


EDIT ! Ah !!! J'ai compris ! Quand je dis : j'utilise le fait que la mesure est finie pour dire que chacun des Jn est dénombrable, c'est une fois que j'ai la formule card(Jn) < !

[Romain-des-Bois]

...

nan, je comprends pas bien... toujours l'impression du chat qui se mord la queue...

j'essaie de remettre les choses dans le bon ordre...

On n'a pas encore démontré

pour le démontrer (ce que j'ai fait plus haut), on doit avoir est dénombrable (et mieux, fini).

Vous me proposez de démontrer ça par l'absurde... j'ai pas bien compris, il me semble que, pour cela, vous supposez alors que c'est ce qu'on veut démontrer...





Supposons qu'on ait démontré :

Ma conclusion était : grâce à la formule, Jn est dénombrable

J est l'intersection dénombrable des Jn qui sont eux-mêmes dénombrables, donc J est dénombrable...

D'où, je dois montrer que Jn est dénombrable pour montrer qui ne me sert que pour affirmer que Jn est dénombrable ???


Merci à tous les deux

Romain

[Médiat]

...
Vous me proposez de démontrer ça par l'absurde... j'ai pas bien compris, il me semble que, pour cela, vous supposez alors que c'est ce qu'on veut démontrer...

Nan .
On suppose que l'on extrait une partie dénombrable de sur cette partie on peut appliquer la formule qui donne la mesure de l'union dénombrable d'ensembles disjoints, et comme on arrive à une contradiction c'est que l'on ne peut extraire une partie dénombrable et donc que est fini.

[Romain-des-Bois]

Je reprends :

Montrons que est dénombrable (avec pour hypothèse, la mesure est finie).
Supposons indénombrable, alors, il existe dénombrable, partie de
On note une famille d'éléments 2 à 2 disjoints de , alors
,

alors (d'où contradiction)

Bilan : est dénombrable

Maintenant, on va prouver la fameuse formule :

(Ca c'est fait !)

Maintenant, il reste à conclure

[Médiat]

est l'union dénombrable des , or l'union dénombrable d'ensembles dénombrables (et a fortiori finis) est dénombrable.

[Romain-des-Bois]

est l'union dénombrable des , or l'union dénombrable d'ensembles dénombrables (et a fortiori finis) est dénombrable.

Re ! Oui à ce niveau-là, pas de problème !

Bon, en fait, je faisais un gros n'importe quoi (et ça ne vous aura pas échapper )

La récurrence ne sert strictement à rien

Bon, j'ai rédigé la preuve :
Supposons

Soit est dénombrable soit infini indénombrable. Si c'est le cas, on prend dénombrable infini inclus dans et :

(d'où la contradiction)

Sinon,
(d'où la contradiction)

Bon, c'est démontré !

Mais on suppose quand même :
de tout ensemble indénombrable on peut sortir un ensemble dénombrable infini (ie dénombrable mais pas fini)... mais est-ce si évident ? (j'ai pas trouvé de confirmation...)


Merci !!!

Romain

[Romain-des-Bois]

Re ! Oui à ce niveau-là, pas de problème !

Bon, en fait, je faisais un gros n'importe quoi (et ça ne vous aura pas échappé )

Enorme faute !

de tout ensemble indénombrable on peut sortir un ensemble dénombrable infini (ie dénombrable mais pas fini)... mais est-ce si évident ?

Je me pose vraiment la question étant donné que je continue à ne rien trouver, ni sur wiki, ni sur les habituels sites de cours de Maths, et parce que j'ai feuilleté plusieurs bouquins de licence dans une librairie, et ... rien non plus.

Alors ?


(re-re-re-merci !)

Romain

[Médiat]

Tu peux prendre les tels que