Répondre à la discussion
Affichage des résultats 1 à 13 sur 13

[L3]Mesure finie, ensembles dénombrables...



  1. #1
    Romain-des-Bois

    [L3]Mesure finie, ensembles dénombrables...


    ------

    Bonjour !

    je viens chercher un peu d'aide Il me semble jouer au chat qui se mord la queue... Vous allez voir.

    Soit une mesure finie sur

    On se donne une classe d'ensemble disjoints dans

    On veut montrer que est au plus dénombrable...

    On pose

    et par récurrence, on montre que :

    n=1



    et là, j'aimerais bien dire (comme les sont disjoints) :


    malheureusement, cette propriété n'est vraie que lorsqu'on considère une union dénombrable... il est évident que est dénombrable car sinon, on aurait indénombrable (et on veut démontrer le contraire (là, je suppose ce qu'on veut démontrer))...

    Je pense qu'il y a un élément (un autre) qui me permet de dire que est dénombrable... mais quoi ?

    Quand on procède à la récurrence, c'est pareil, il me faut dire que est dénombrable pour conclure de la manière similaire...

    Après j'arrive bien sûr à conclure


    Peut-être, je me trompe complètement de voie, mais quand même...


    Merci

    Romain

    -----

  2. Publicité
  3. #2
    Médiat

    Re : [L3]Mesure finie, ensembles dénombrables...

    Il me semble que tu n'utilises pas le fait que ta mesure est finie.
    Avec cette hypothèse J1 est non seulement dénombrable, mais fini, en tout cas il me semble.
    Et pour le reste de la récurrence c'est un peu pareil.
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  4. #3
    Romain-des-Bois

    Re : [L3]Mesure finie, ensembles dénombrables...

    Merci

    Si, j'utilise le fait que la mesure est finie : ( ) pour dire que chacun des est dénombrable.

    Je pense que cette hypothèse ne sert qu'à ça

    Je ne vois pas ce qui entraine que est dénombrable (et fini en plus !) ?


    Romain

  5. #4
    homotopie

    Re : [L3]Mesure finie, ensembles dénombrables...

    Raisonne par l'absurde, si Jn n'est pas fini, alors tu peux prendre une sous-partie J'n de Jn de cardinal et tu aboutis à une contradiction.

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    Médiat

    Re : [L3]Mesure finie, ensembles dénombrables...

    Citation Envoyé par Romain-des-Bois Voir le message
    Si, j'utilise le fait que la mesure est finie : ( ) pour dire que chacun des est dénombrable.

    Je ne vois pas ce qui entraine que est dénombrable [...] ?
    Je ne comprends plus : si tu as démontré que chacun des est dénombrable, c'est que l'est. Qu'est-ce que je n'ai pas compris ?

    D'autre part si n'est pas dénombrable, on peut en extraire une partie dénombrable dont la mesure sera la somme des mesures de chacun des dont la mesure est supérieure à 1, cette somme dénombrable de nombres supérieurs ou égaux à 1 ne peut être inférieure à un entier donné... Et si je ne peux extraire une partie dénombrable c'est que est fini.

    [EDIT] : grillé par homotopie
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  8. #6
    Romain-des-Bois

    Re : [L3]Mesure finie, ensembles dénombrables...

    Citation Envoyé par homotopie Voir le message
    Raisonne par l'absurde, si Jn n'est pas fini, alors tu peux prendre une sous-partie J'n de Jn de cardinal et tu aboutis à une contradiction.
    Citation Envoyé par Médiat Voir le message
    D'autre part si n'est pas dénombrable, on peut en extraire une partie dénombrable dont la mesure sera la somme des mesures de chacun des dont la mesure est supérieure à 1, cette somme dénombrable de nombres supérieurs ou égaux à 1 ne peut être inférieure à un entier donné...

    [EDIT] : grillé par homotopie
    Vous me proposez la même chose Merci !

    Citation Envoyé par Médiat Voir le message
    Je ne comprends plus : si tu as démontré que chacun des est dénombrable, c'est que l'est. Qu'est-ce que je n'ai pas compris ?
    Il me semble que tu joues toi aussi au chat

    Pour montrer que le cardinal de chacun des Jn est inférieur à , j'ai du supposer que les Jn sont dénombrables


    Romain (qui ne sait pas s'il a été clair...)


    EDIT ! Ah !!! J'ai compris ! Quand je dis : j'utilise le fait que la mesure est finie pour dire que chacun des Jn est dénombrable, c'est une fois que j'ai la formule card(Jn) < !

  9. Publicité
  10. #7
    Romain-des-Bois

    Re : [L3]Mesure finie, ensembles dénombrables...

    ...

    nan, je comprends pas bien... toujours l'impression du chat qui se mord la queue...

    j'essaie de remettre les choses dans le bon ordre...

    On n'a pas encore démontré

    pour le démontrer (ce que j'ai fait plus haut), on doit avoir est dénombrable (et mieux, fini).

    Vous me proposez de démontrer ça par l'absurde... j'ai pas bien compris, il me semble que, pour cela, vous supposez alors que c'est ce qu'on veut démontrer...





    Supposons qu'on ait démontré :

    Ma conclusion était : grâce à la formule, Jn est dénombrable

    J est l'intersection dénombrable des Jn qui sont eux-mêmes dénombrables, donc J est dénombrable...

    D'où, je dois montrer que Jn est dénombrable pour montrer qui ne me sert que pour affirmer que Jn est dénombrable ???


    Merci à tous les deux

    Romain

  11. #8
    Médiat

    Re : [L3]Mesure finie, ensembles dénombrables...

    Citation Envoyé par Romain-des-Bois Voir le message
    ...
    Vous me proposez de démontrer ça par l'absurde... j'ai pas bien compris, il me semble que, pour cela, vous supposez alors que c'est ce qu'on veut démontrer...
    Nan .
    On suppose que l'on extrait une partie dénombrable de sur cette partie on peut appliquer la formule qui donne la mesure de l'union dénombrable d'ensembles disjoints, et comme on arrive à une contradiction c'est que l'on ne peut extraire une partie dénombrable et donc que est fini.
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  12. #9
    Romain-des-Bois

    Re : [L3]Mesure finie, ensembles dénombrables...

    Je reprends :

    Montrons que est dénombrable (avec pour hypothèse, la mesure est finie).
    Supposons indénombrable, alors, il existe dénombrable, partie de
    On note une famille d'éléments 2 à 2 disjoints de , alors
    ,

    alors (d'où contradiction)

    Bilan : est dénombrable

    Maintenant, on va prouver la fameuse formule :

    (Ca c'est fait !)

    Maintenant, il reste à conclure

  13. #10
    Médiat

    Re : [L3]Mesure finie, ensembles dénombrables...

    est l'union dénombrable des , or l'union dénombrable d'ensembles dénombrables (et a fortiori finis) est dénombrable.
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  14. #11
    Romain-des-Bois

    Re : [L3]Mesure finie, ensembles dénombrables...

    Citation Envoyé par Médiat Voir le message
    est l'union dénombrable des , or l'union dénombrable d'ensembles dénombrables (et a fortiori finis) est dénombrable.
    Re ! Oui à ce niveau-là, pas de problème !

    Bon, en fait, je faisais un gros n'importe quoi (et ça ne vous aura pas échapper )

    La récurrence ne sert strictement à rien

    Bon, j'ai rédigé la preuve :
    Supposons

    Soit est dénombrable soit infini indénombrable. Si c'est le cas, on prend dénombrable infini inclus dans et :

    (d'où la contradiction)

    Sinon,
    (d'où la contradiction)

    Bon, c'est démontré !

    Mais on suppose quand même :
    de tout ensemble indénombrable on peut sortir un ensemble dénombrable infini (ie dénombrable mais pas fini)... mais est-ce si évident ? (j'ai pas trouvé de confirmation...)


    Merci !!!

    Romain

  15. #12
    Romain-des-Bois

    Re : [L3]Mesure finie, ensembles dénombrables...

    Citation Envoyé par Romain-des-Bois Voir le message
    Re ! Oui à ce niveau-là, pas de problème !

    Bon, en fait, je faisais un gros n'importe quoi (et ça ne vous aura pas échappé )
    Enorme faute !


    de tout ensemble indénombrable on peut sortir un ensemble dénombrable infini (ie dénombrable mais pas fini)... mais est-ce si évident ?

    Je me pose vraiment la question étant donné que je continue à ne rien trouver, ni sur wiki, ni sur les habituels sites de cours de Maths, et parce que j'ai feuilleté plusieurs bouquins de licence dans une librairie, et ... rien non plus.

    Alors ?


    (re-re-re-merci !)

    Romain

  16. Publicité
  17. #13
    Médiat

    Re : [L3]Mesure finie, ensembles dénombrables...

    Tu peux prendre les tels que
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

Discussions similaires

  1. Récurrence finie
    Par J.M.M dans le forum Mathématiques du supérieur
    Réponses: 7
    Dernier message: 06/12/2007, 16h39
  2. Ensembles dénombrables
    Par minidiane dans le forum Mathématiques du supérieur
    Réponses: 5
    Dernier message: 13/10/2007, 20h13
  3. Ensembles et sous ensembles
    Par M I L A S dans le forum Mathématiques du supérieur
    Réponses: 32
    Dernier message: 19/08/2007, 11h01
  4. Démontrer que l'union de 2 ensembles dénombrables est dénombrable.
    Par tomawok dans le forum Mathématiques du supérieur
    Réponses: 3
    Dernier message: 16/09/2006, 10h56
  5. ensembles dénombrables juste du bon sens dans ce cas??
    Par Brumaire dans le forum Mathématiques du supérieur
    Réponses: 16
    Dernier message: 17/11/2004, 11h44