Exercice Algèbre Linéaire

[Deeprod]

Soit u un endomorphisme de E.
Im(u) = Ker(u).

Montrer qu'il existe v tel que :

v(u(x)) + u(v(x)) = x

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J'essaye donc d'exiber v.
Je note E' tel que E = E' + Ker(u) (Somme direct !)

Je définir v sur E' d'abord.
u restreint a E' est bijective (endo + injective), donc l'application "fonction reciproque de u diviser par 2" convient pour v (restreint à E')

Je définie ensuite v sur Ker(u).
Soit x dans Ker(u).
v(u(x)) + u(v(x)) = x
donc u(v(x)) = x

Je vois pas comment conclure...
Quelqu'un peu m'aider ?

Merci
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[invite6b1e2c2e]

Salut,

C'est un exercice rigolo. Je te conseille de remarquer que u² = 0 avec les hypothèses que tu as.

Notamment, si u°v + v°u = Id, alors tu dois avoir
u°v°u = u, donc entre autre
u°v(u(x)) = u(x), donc u°v = Id sur Im(u).
Maintenant, tu sais que tu peux utiliser un supplémentaire E' de Ker(u) = Im(u) dans E. Essaye de remarquer quelque chose sur la taille de ces espaces vectoriels pour en déduire qu'il existe bien un v tel que u°v = Id sur Im(u).
Après, prends un élément x et écrit le u(a) + b, avec b dans E', et regarde comment v dois agir sur b. Faut quand même que je te laisse un peu de boulot

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rvz

[invite6b1e2c2e]

Note: Par rapport à ton post précédent, u restreint à E' est bien bijective, mais de E' sur Ker(u).

Bon courage,
__
rvz

[ericcc]

C'est effectivement un exo rigolo. Mes notions d'algèbre linéaire sont un peu lointaines, et je me suis posé une question : le supplémentaire existe t il en dimension infinie ?
En tout état de cause si la dimension est finie, elle est forcément paire.
Sinon pour l'illustration de l'exercice on peut regarder ce qui se passe si E est l'ensemble des polynômes de degré <=3 (dimension 4) et l'application u est la dérivée seconde.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite35452583]

je me suis posé une question : le supplémentaire existe t il en dimension infinie ?

Oui, dans le cas général cela nécessite l'axiome du choix.

[invite6b1e2c2e]

Oui, je suis d'accord avec toi, Homotopie, cela dit, en dimension infinie il faut distinguer supplémentaire topologique et supplémentaire algébrique.

Le deuxième existe toujours, mais le premier n'existe pas forcément: On sait toutefois que le supplémentaire topologique de V existe lorsque V est fermé.

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rvz

[ericcc]

Oui, dans le cas général cela nécessite l'axiome du choix.

Je m'en doutais un peu

[Theyggdrazil]

Ahah ça me rappelle des choses tout ça

Quand j'ai débarqué en cours de physique quantique et qu'on m'a appris que même un espace de dimension infinie possédait une base, j'étais cois ! ^^

Depuis on l'a démontré, ainsi que l'existence du supplémentaire, avec le lemme de Zorn.

Mais pour autant, ça prouve bien dans mon cas que si l'axiome du choix parait intuitif, ses conséquences le paraissent moins (pour moi en tout cas).

A propos une blague piquée sur les-mathematiques.net (en anglais, parce qu'en français elle rend moins bien) :

What is brown, furry, runs to the sea, and is equivalent to the axiom of choice?

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A Zorn's lemming.