Cordes, cercle en coordonnées polaires

[invite39a8629d]

Bonjour à tous.

J'ai une question épineuse (pour moi en tout cas) à vous soumettre.

J'ai trois points (A,B,C) qui appartiennent à un cercle (ils sont sur la même moitié de cercle), ils sont définis en coordonnées polaires.
Je ne connais pas le centre ni le rayon de ce cercle et je ne peux pas repasser en coordonnées cartésiennes.

AB et BC forment deux cordes : je connais leurs longueurs et l'angle ^ABC.
Intuitivement, on voit que la somme des longueurs des deux cordes et l'angle sont reliés par une relation inverse : lorsque les cordes sont petites, l'angle est grand ; plus les cordes sont grandes et plus l'angle se referme.
Y a-t-il une relation entre les deux qui ne fasse pas intervenir le rayon du cercle ?
(Je pense, naïvement peut-être, à une relation du type
somme_des_longueurs_des_deux_c ordes/angle = coefficient_toujours_valable_q que_soit_le_rayon)

Voilà.
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[invitea3eb043e]

Il y a un truc qui ne va pas : tes 3 points ABC sont forcément sur un cercle (éventuellement plat), donc dire qu'ils sont sur un cercle de rayon et de centre inconnus ne t'apporte strictement rien.
La longueur AC se calcule à partir de AB et BC par la formule classique du cosinus.

[inviteaeeb6d8b]

Salut

je crois pas trop à ton idée de formule

Tu peux utiliser Al Kashi :

tu connais b et c (les longueurs de tes 2 cordes), et l'angle "entre ces deux cordes" alors :


où a est la longueur du troisième côté...

doit y avoir mieux !


Romain

[invite39a8629d]

Merci de vos réponses si rapides.

Avant tout, je ne comprends pas trop pourquoi vous me parlez de la longueur AC .

J'ai peut-être mal formulé mon problème ou plus exactement mal expliqué ce que je cherchais. Tout d'abord, les points sont successivement posé sur le cercle (en longeant le cercle, il y a dans l'ordre A, B, C, D et ils sont tous sur la même moitié de cercle).
En fait, je dois poser un quatrième point, D, sur le cercle (déjà formé par A,B,C). De ce point D, je connais l'angle ^BCD ou la longueur CD mais pas les deux à la fois. Est-il possible de retrouver l'autre coordonnée polaire (si j'ai l'angle, retrouver la longueur ; si j'ai la longueur, retrouver l'angle) ?
Une autre façon de voir ce problème est qu'il y a un quatrième point D' dont je connais l'angle ^BCD' et la longueur CD', mais je ne sais pas s'il se trouve sur le cercle et donc je souhaite tester si D' appartient au cercle ou pas.

Voilà.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitea774bcd7]

J'ai peut-être mal formulé mon problème ou plus exactement mal expliqué ce que je cherchais. Tout d'abord, les points sont successivement posé sur le cercle (en longeant le cercle, il y a dans l'ordre A, B, C, D et ils sont tous sur la même moitié de cercle).
En fait, je dois poser un quatrième point, D, sur le cercle (déjà formé par A,B,C). De ce point D, je connais l'angle ^BCD ou la longueur CD mais pas les deux à la fois. Est-il possible de retrouver l'autre coordonnée polaire (si j'ai l'angle, retrouver la longueur ; si j'ai la longueur, retrouver l'angle) ?
Une autre façon de voir ce problème est qu'il y a un quatrième point D' dont je connais l'angle ^BCD' et la longueur CD', mais je ne sais pas s'il se trouve sur le cercle et donc je souhaite tester si D' appartient au cercle ou pas.

Voilà.

Ah bah oui, là tout de suite on voit mieux
Ton premier message était carrément incomplet : tu ne parlais même pas du point D…

Perso, je calculerais les coordonnées du centre du cercle (3 points définissent un unique cercle : l'intersection des médiatrices à AB et BC) et écrirais les coordonnées du point D dans ce repère (dont l'origine est le centre du cercle…)

[invitea3eb043e]

Tu peux essayer quelque chose de plus original que de calculer les données du cercle (centre et rayon).
L'idée est de s'intéresser au quadrilatère ABCD et de calculer son aire de 2 façons :
- comme somme des triangles ABC et ACD
- comme quadrilatère inscriptible dans un cercle.

1ère méthode : employer la formule du triangle S = racine [p(p-a)(p-b)(p-c)] où a, b, c sont les côtés du triangle et p le demi-périmètre : p=(a+b+c)/2
Tu fais ça 2 fois et tu additionnes. Si tu as les coordonnées des points A B C D pas de problème.

2ème méthode ; appliquer le théorème qui dit que si un quadrilatère de côtés a, b, c, d est inscriptible dans un cercle alors son aire est
S= racine[(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)]
Idem a, b, c, d sont les 4 côtés et p le demi-périmètre.

Vérifie que les 2 calculs donnent la même chose, alors ABCD sont sur le même cercle.

[invite9cf21bce]

Salut.

En bourrinant, tu peux aussi utiliser :

al Kashi
la formule donnant le rayon du cercle circonscrit
le fait que les cercles circonscrits aux triangles ABC et BCD ont même rayon

pour obtenir un truc du genre :



où , , , et

Il faut juste faire attention car quand tout est donné sauf , on trouve deux valeurs de . Une seule doit correspondre au problème, l'autre est à élucider.

Même chose quand tout est donné sauf

Taar.