Coordonnées polaires

[invitebb921944]

Bonjour tout le monde !
Un petit élément de surface est r.dr.dteta en coordonnées polaires.
dxdy en coordonnées cartésiennes.
On a x=rcos(teta)
y=rsin(teta)
Je calcule dxdy mais je ne retombe pas sur r.dr.dteta
Merci d'avance pour votre aide !
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[invitec314d025]

Il faut calculer le Jacobien. Ca te dit quelque chose ?

[invitebb921944]

Oui, je l'ai quelque part dans mes cours, je regarderai ca !
Mais ne peut-on pas faire une méthode à l'ancienne du genre :
dx=dr.cos(teta)-r.sin(teta).dteta
dy=dr.sin(teta)+r.cos(teta).dt eta
et trouver le résultat en multipliant les deux ?
Qu'est-ce qui ne va pas dans cette démarche ?

[invite97a92052]

Hello,

ce qu'il faut comprendre, c'est que ton petit élément d'aire, après ton changement de variable, ce n'est plus dxdy ! Ton découpage n'a vraiment plus rien à voir !

Une intégrale en dxdy c'est une limite de somme d'aires de rectangles.

En passant en polaire, conserver ce découpage en rectangles est absurde, car theta ne varierait pas de manière uniforme, et r non plus, et tu ne peux donc pas intégrer comme ça en écrivant dr et .

Sinon, sans parler de jacobien (même si c'est exactement ça), il est facile de claculer un élément d'aire :

En notant le point , on a :


avec


L'aire élémentaire est alors la norme du produit vectoriel de ces 2 vecteurs (la valeur absolue de la matrice jacobienne de M), qui vaut :

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite97a92052]

Juste une ptite rectification : ce n'est évidemment pas la "valeur absolue de la matrice jacobienne", mais "la valeur absolue du déterminant de la matrice jacobienne" ! Ça va tout de suite mieux

[invite97a92052]

D'ailleurs (arrgh, la limite des 5 minutes... !) il manque des valeurs absolues dans ce que j'ai écrit si on veut être rigoureux, des fois que r devienne négatif.

[invitebb921944]

Merci beaucoup !