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Coordonnées polaires



  1. #1
    invite43219988

    Coordonnées polaires


    ------

    Bonjour tout le monde !
    Un petit élément de surface est r.dr.dteta en coordonnées polaires.
    dxdy en coordonnées cartésiennes.
    On a x=rcos(teta)
    y=rsin(teta)
    Je calcule dxdy mais je ne retombe pas sur r.dr.dteta
    Merci d'avance pour votre aide !

    -----

  2. Publicité
  3. #2
    matthias

    Re : Coordonnées polaires

    Il faut calculer le Jacobien. Ca te dit quelque chose ?

  4. #3
    invite43219988

    Re : Coordonnées polaires

    Oui, je l'ai quelque part dans mes cours, je regarderai ca !
    Mais ne peut-on pas faire une méthode à l'ancienne du genre :
    dx=dr.cos(teta)-r.sin(teta).dteta
    dy=dr.sin(teta)+r.cos(teta).dt eta
    et trouver le résultat en multipliant les deux ?
    Qu'est-ce qui ne va pas dans cette démarche ?

  5. #4
    g_h

    Re : Coordonnées polaires

    Hello,

    ce qu'il faut comprendre, c'est que ton petit élément d'aire, après ton changement de variable, ce n'est plus dxdy ! Ton découpage n'a vraiment plus rien à voir !

    Une intégrale en dxdy c'est une limite de somme d'aires de rectangles.

    En passant en polaire, conserver ce découpage en rectangles est absurde, car theta ne varierait pas de manière uniforme, et r non plus, et tu ne peux donc pas intégrer comme ça en écrivant dr et .

    Sinon, sans parler de jacobien (même si c'est exactement ça), il est facile de claculer un élément d'aire :

    En notant le point , on a :


    avec


    L'aire élémentaire est alors la norme du produit vectoriel de ces 2 vecteurs (la valeur absolue de la matrice jacobienne de M), qui vaut :


  6. #5
    g_h

    Re : Coordonnées polaires

    Juste une ptite rectification : ce n'est évidemment pas la "valeur absolue de la matrice jacobienne", mais "la valeur absolue du déterminant de la matrice jacobienne" ! Ça va tout de suite mieux

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    g_h

    Re : Coordonnées polaires

    D'ailleurs (arrgh, la limite des 5 minutes... !) il manque des valeurs absolues dans ce que j'ai écrit si on veut être rigoureux, des fois que r devienne négatif.

  9. Publicité
  10. #7
    invite43219988

    Re : Coordonnées polaires

    Merci beaucoup !

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