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Récapitulatif d'algèbre linéaire



  1. #1
    Bleyblue

    Récapitulatif d'algèbre linéaire


    ------

    Bonjour,

    J'ai essayé d'étudier un opérateur linéaire de manière aussi détaillée que je le pouvais pour revoir ma matière un coup (j'ai un examen bientôt).
    Ca ne fait intervenire aucune notion de ce qu'on a vu sur les espaces vectoriels euclidiens et hermitiens ni sur les isométries mais ça ne fait rien, je reverrai ça après.

    Quelqu'un serait-il assez aimable pour vérifier tout ce brol ? Tout à l'aire de se tenire mais on ne sait jamais

    Voici l'opérateur :



    B = {(1,0),(x,0),(x²,0),(0,1),(0,x ),(0,x²)} forme une base de l'espace vectoriel qui est donc de dimension 6.
    Plus généralement l'espace vectoriel (p et n naturels) est de dimension (p + 1)n

    Je vérifie facilement que l'application est linéaire en vérifiant que :

    (lambda mu des scalaires, v w des vecteurs de l'espace vectoriel en question)

    Je cherche la matrice de f dans la base B :

    f(1,0) = (1,1) = [1,0,0,1,0,0]
    f(x,0) = (x,x) = [0,1,0,0,1,0]
    f(x²,0) = (x²,x²) = [0,0,1,0,0,1]
    f(0,1) = (1,-1) = [1,0,0,-1,0,0]
    f(0,x) = (x,-x) = [0,1,0,0,-1,0]
    f(0,x²) = (x²,-x²) = [0,0,1,0,0,-1]



    Je cherche maintenant la dimension de l'image et celle du noyau de f.

    Pour le noyau, il s'agit des vecteurs qui sont envoyés sur (0,0) (le symbôle 0 désignant le polynôme nul) :

    p(x) + q(x) = 0
    p(x) - q(x) = 0

    => p(x) = q(x) = 0
    Donc le noyau est de dimension zéro, et en vertu de l'égalité :



    l'image est de dimension 6
    Bon, je cherche maintenant les valeurs propres et vecteurs propres c'est à dire les vecteurs non nuls v= (x,y,z,t,a,b) et scalaires lambda tels que :







    Il faut (en raison d'un théorème du cours) pour que cette équation admette une solution non nulle que :





    Je passe les calculs qui sont longs et assez inintéressants :

    (polynôme caractéristique)

    Sous espaces propres :



    On tombe sur un bête petit système à 6 inconnues qu'on résout pour tomber sur :



    de même :



    Donc je prends la base

    alors :



    Et la matrice de changement de base C :



    diagonalise M(B) c'est à dire est telle que

    avec M(B') diagonale

    merci

    -----
    Dernière modification par Bleyblue ; 02/06/2006 à 21h26.

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  4. #2
    indian58

    Re : Récapitulatif d'algèbre linéaire

    ok. Ca m'a l'air correct.

  5. #3
    Bleyblue

    Re : Récapitulatif d'algèbre linéaire

    D'accord merci

  6. #4
    homotopie

    Re : Récapitulatif d'algèbre linéaire

    Juste une petite remarque (que tu avais peut-être déjà fait mais non écrite)
    Après : "l'image est de dimension 6"
    ajouter donc f est surjective car dim(Im(f))=dim(espace d'arrivée) et f est donc un isomorphisme (tu as déjà dit que f injective)

    M.... pour l'examen

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  8. #5
    matthias

    Re : Récapitulatif d'algèbre linéaire

    Ceci-dit, pour cet opérateur on ne peut pas dire que passer par les matrices simplifie le travail.
    Pour les valeurs et vecteurs propres, il est plus facile de résoudre directement : (p+q;p-q) = Lambda(p;q)

  9. #6
    Bleyblue

    Re : Récapitulatif d'algèbre linéaire

    Citation Envoyé par homotopie
    Juste une petite remarque (que tu avais peut-être déjà fait mais non écrite)
    Après : "l'image est de dimension 6"
    ajouter donc f est surjective car dim(Im(f))=dim(espace d'arrivée)
    Ah oui ça me fait penser qu'il ne faut pas que j'oublie :

    f surjective dim (Imf) = dim(V)
    Mais quelle est la condition nécessaire et sufisante pour que f soit injective ? Je ne vois pas en quoi je l'ai montré dans mon raisonnement.

    Citation Envoyé par homotopie
    et f est donc un isomorphisme
    Donc l'espace vectoriel est isomorphe à lui même, étonnant

    Citation Envoyé par homotopie
    M.... pour l'examen
    merci !

    Citation Envoyé par Matthias
    Ceci-dit, pour cet opérateur on ne peut pas dire que passer par les matrices simplifie le travail.
    Pour les valeurs et vecteurs propres, il est plus facile de résoudre directement : (p+q;p-q) = Lambda(p;q)
    Ah oui je n'y ai pas pensé

    merci

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  11. #7
    matthias

    Re : Récapitulatif d'algèbre linéaire

    Citation Envoyé par Bleyblue
    Mais quelle est la condition nécessaire et sufisante pour que f soit injective ? Je ne vois pas en quoi je l'ai montré dans mon raisonnement.
    Ca a un rapport avec le noyau ...

  12. #8
    Bleyblue

    Re : Récapitulatif d'algèbre linéaire

    Avec le noyau ...
    Mais je peux aussi simplement montrer que :

    f((p,q) = f((r,s)) => (p = q) et (r = s) (p,q,r,s des polynômes) ce qui n'est pas dur car de :

    p + q = g
    p - q = h

    et

    r + s = g
    r - s = h

    On déduit facilement p = q et r = s.

    La condition pour que f soit injective ce serait dim(Kerf) = 0 ? J'y ai pensé mais pour moi ça c'est uen condition pour que f soit surjective (vu que ça implique dim(Imf) = dim(V))
    Ca voudrait donc dire que f surjective => f injective ? Bizarre ...

    merci

  13. #9
    Bleyblue

    Re : Récapitulatif d'algèbre linéaire

    Ah mais attendez si je fais :

    f(p) = f(q)
    f(p) - f(q) = 0
    f(p - q) = 0 (car f linéaire)

    donc come dim(Kerf) = 0 il faut :

    p - q = 0
    p = q

    EDIT : Mais ça ne contredit pas ma remarque du message précédent. f surjective => f injective ?

  14. #10
    matthias

    Re : Récapitulatif d'algèbre linéaire

    Citation Envoyé par Bleyblue
    La condition pour que f soit injective ce serait dim(Kerf) = 0 ?
    Oui, ce qui est équivalent à Ker(f) = {0}

    Citation Envoyé par Bleyblue
    J'y ai pensé mais pour moi ça c'est uen condition pour que f soit surjective (vu que ça implique dim(Imf) = dim(V))
    Ca voudrait donc dire que f surjective => f injective ?
    En dimension finie, injectif <=> surjectif <=> bijectif pour un endomorphisme.

  15. #11
    Bleyblue

    Re : Récapitulatif d'algèbre linéaire

    Qu'est-ce que c'est que ça un endomorphisme ? Un opérateur linéaire sur un espace vectoriel V ?

    Donc en fait je retiens que pour un opérateur linéaire f sur V :

    f surjective f injective dim(Ker f) = 0

    merci bien, ça me sera utile

  16. #12
    matthias

    Re : Récapitulatif d'algèbre linéaire

    Seulement en dimension finie !

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  18. #13
    homotopie

    Re : Récapitulatif d'algèbre linéaire

    Citation Envoyé par Bleyblue
    Qu'est-ce que c'est que ça un endomorphisme ? Un opérateur linéaire sur un espace vectoriel V ?

    Donc en fait je retiens que pour un opérateur linéaire f sur V :

    f surjective f injective dim(Ker f) = 0

    merci bien, ça me sera utile
    Oui c'est utile car déterminer le noyau est souvent plus simple que la détermination de l'image.
    Mais attention, ce résultat n'est vrai que pour les applications linéaires f : E -> F avec dim(E)=dim(F)(*). Un cas particulier important sont les endomorphismes, càd E=F, ce qui est le cas dans ton exemple E=F=
    Dans le cas où dim(E) et dim(F) sont différents, f ne peut pas être un isomorphisme, l'équivalence entre l'injectivité et la surjectivité y est donc fausse.
    Et, revenons à une autre de tes remarques, pour un endomorphisme on a évidemment E et F(=E) isomorphes mais f lui n'est pas nécessairement un isomorphisme (contre-exemple trivial : f(x)=0 pour tout x avec E distinct de {0})

    EDIT : et dim(E) finie (merci Matthias)

  19. #14
    Bleyblue

    Re : Récapitulatif d'algèbre linéaire

    Ah ok, donc si je résume :

    Si j'ai une application linéaire f:E -> F avec dim(E)=dim(F) <+oo (et dans le cas particulier ou E=F on a un automorphisme = un opérateur linéaire) alors :

    f surjective f injective dim(Ker f) = 0

    Dommage que ce ne soit plus valable en dimension infinie

    Citation Envoyé par Homotopie
    E et F(=E) isomorphes mais f lui n'est pas nécessairement un isomorphisme (contre-exemple trivial : f(x)=0 pour tout x avec E distinct de {0})
    Ah oui juste ...

    merci

  20. #15
    matthias

    Re : Récapitulatif d'algèbre linéaire

    Citation Envoyé par Bleyblue
    automorphisme = un opérateur linéaire
    Non.
    automorphisme = endomorphisme bijectif

    Récapitulons.
    E et F 2 ev
    Soit f une application linéaire de E sur F (ou morphisme)
    Si f est bijective, on parle d'isomorphisme.
    Si E=F on parle d'endomorphisme.
    Si E=F et f bijective, on parle d'automorphisme.

  21. #16
    Bleyblue

    Re : Récapitulatif d'algèbre linéaire

    Oui oui c'est ce que je voulais dire, endomorphisme.

    En feuilletant des cours d'algèbre un peu au hasard je suis tombé sur les termes "morphismes", "isomorphismes", "endomorphismes", "automorphismes", "homomorphismes" et j'en passe ... mais mise à part les isomorphismes je n'ai jamais vu ça au cours donc je ne sais pas ce que c'est. Ces termes me sont toutefois restés en mémoire, ça doit être pour ça que j'ai écrit "auto" au lieu d' "endo"

    merci

  22. #17
    Bleyblue

    Re : Récapitulatif d'algèbre linéaire

    Citation Envoyé par Matthias
    E et F 2 ev
    Soit f une application linéaire de E sur F (ou morphisme)
    Si f est bijective, on parle d'isomorphisme.
    Si E=F on parle d'endomorphisme.
    Si E=F et f bijective, on parle d'automorphisme.
    Ok ça éclaire ma lanterne ça.
    Donc "morphisme" ce n'est qu'un synonyme d' "application linéaire" ? Il me semble avoir rencontré ce terme dans un chapitre sur les groupes et les anneaux ...

    merci

  23. #18
    matthias

    Re : Récapitulatif d'algèbre linéaire

    Citation Envoyé par Bleyblue
    Donc "morphisme" ce n'est qu'un synonyme d' "application linéaire" ? Il me semble avoir rencontré ce terme dans un chapitre sur les groupes et les anneaux ...
    Oui ça dépend du contexte. Pour être précis, il y a des morphismes de groupes, d'anneaux, de corps, et ici d'espaces vectoriels. Il y en a d'autres aussi, sur les modules par exemple.
    Généralement il n'y a pas d'ambiguïté, ou alors on précise.

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  25. #19
    Bleyblue

    Re : Récapitulatif d'algèbre linéaire

    Ah, d'accord merci bien

  26. #20
    Bleyblue

    Re : Récapitulatif d'algèbre linéaire

    Pour l'énoncé n°3 ici :

    http://www.ulb.ac.be/facs/sciences/m...so/Mai04sd.pdf

    comme (1,2) et (2,3) forment une base de R² je n'ai qu'a mettre leur images en colonnes dans une matrice et puis calculer l'image du vecteur (1,1) en faisant un simple produit matricielle.

    N'est-ce pas ?

    merci

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