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Continuité uniforme



  1. #1
    REGDOC

    Continuité uniforme


    ------

    Bonjour

    J'ai deux exercices à résoudre qui me tordent le cerveau. Merci de me répondre très vite.

    Exo1:
    Soit f : R dans R telle qu'il existe (a, b) appartenant à R^2 tel que :
    lim f(x) =a
    x tend vers - infini ;

    lim f(x) = b
    x tend vers + infini

    Montrer que f est uniformément continue sur R

    exo2
    Montrer que la fonction f: R+ dans R
    x-----> sin (x^2) est continue, bornée, mais non uniformément continue sur R+

    -----

  2. #2
    GuYem

    Re : Continuité uniforme

    Salut, il y a bonjour et merci, c'est bien.

    Mais il faut un peu montrer que tu as cherché.

    Pour le premier un joli dessin, un bon coup de Heine, et des epsilons bien placés devrait faire l'affaire.
    Pour le deuxième, écrire la négation de la définition doit donner l'idée pour montrer que cette négation est vraie.

    Courage.
    Bravo jolie Ln, tu as trouvé : l'armée de l'air c'est là où on peut te tenir par la main.

  3. #3
    matthias

    Re : Continuité uniforme

    Pour le 1, il faudrait peut-être aussi supposer que f est continue, sinon ça va être dur ...

  4. #4
    eirtemoeg

    Re : Continuité uniforme

    Définition de la continuité uniforme :
    f uniformément continue sur IR signifie que quel que soit a, appartenant à IR, il existe t et s,indépendants de a et appartenant à IR, tels que d(a,x) inférieur à t entraîne d(f(x),f(a)) inférieur à s.
    Pour l'infini ceci se ramène à d(x,a) inférieur à t entraîne f(x) supérieur à s.

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    matthias

    Re : Continuité uniforme

    Citation Envoyé par eirtemoeg
    Définition de la continuité uniforme :
    f uniformément continue sur IR signifie que quel que soit a, appartenant à IR, il existe t et s,indépendants de a et appartenant à IR, tels que d(a,x) inférieur à t entraîne d(f(x),f(a)) inférieur à s.
    Non. Il faut que ce soit vrai pour tout s, et pas seulement "il existe s", sinon ceci est vérifié par toute fonction bornée (avec s = majorant - minorant).

    Autrement dit :


    mais j'imagine que REGDOC a déjà ça dans son cours ...

    Citation Envoyé par eirtemoeg
    Pour l'infini ceci se ramène à d(x,a) inférieur à t entraîne f(x) supérieur à s
    ???????

  7. #6
    doudache

    Re : Continuité uniforme

    Une petite remarque, pour les plus expérimentés : si une fonction f continue sur R a des limites en l'infini, alors c'est une fonction continue sur la droite achevée (munie par exemple de la distance d(x,y) = |Arctan(x)-Arctan(y)|, qui par restriction à R, redonne bien la même topologie) vers R. Pour cette distance, la droite achevée est compacte, et ainsi, par Heine, la fonction est uniformément continue sur donc sur R.

    D'ailleurs, la démonstation qui consiste à prendre des epsilons, c'est exactement Heine (une fois que l'on a compris quelle était la topologie de la droite réelle achevée).

    --
    Doudache, pour le mesage inutile du jour

  8. #7
    GuYem

    Re : Continuité uniforme

    Citation Envoyé par doudache

    Blabla

    --
    Doudache, pour le message inutile du jour

    Je ne trouve pas ça inutile du tout. C'est toujours trés joli de dire : oui en fait ce truc ça sert à rien de le montrer, c'est déjà fait.
    Bravo jolie Ln, tu as trouvé : l'armée de l'air c'est là où on peut te tenir par la main.

  9. #8
    eirtemoeg

    Re : Continuité uniforme

    en effet, il aurait fallu dire pour tout s il existe t = f(s) ; dont acte.

  10. #9
    Gwyddon

    Re : Continuité uniforme

    Citation Envoyé par doudache
    Blabla (bis)

    --
    Doudache, pour le mesage inutile du jour
    Au contraire, moi aussi je trouve cette façon de procédé très élégante

    (Ça c'était le message inutile du jour)
    A quitté FuturaSciences. Merci de ne PAS me contacter par MP.

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