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continuité uniforme



  1. #1
    planck

    continuité uniforme

    salut à tous

    j'aurais besoin d'un petit peu d'aide pour l'exercice suivant:
    déterminer si l'application de ]0,1[ dans IR qui a x associe 1/x est uniformément continue ou non.

    intuitivement, je dirais que non, puisque on ne pourra pas trouver un alpha tel que pour tout (x,y) dans ]0,1[, |x-y| => |1/x-1/y| > epsilon (il suffit de décaler x et y un peu plus vers 0, et la différence devient plus grande que epsilon, puisque 1/x tend vers +inf qd x tend vers 0...)

    mais je n'arrive pas à formaliser tout ça....
    est ce que vous pourriez un peu m'aider?!

    -----


  2. Publicité
  3. #2
    g_h

    Re : continuité uniforme

    Salut,

    Est-ce que tu as vu la caractérisation séquentielle de la continuité uniforme ?

    Si oui, avec les suites U et V (pour n supérieur ou égal à 1) définies par :
    Un = 1/n
    Vn = 1/(n+1)

    Tu dois arriver directement au résultat (la fonction n'est pas uniformément continue sur cet intervalle)

  4. #3
    matthias

    Re : continuité uniforme

    Oui ça marche bien avec les suites, et c'est probablement le plus pratique. Ceci-dit ce n'est pas un mauvais exercice de le faire en partant directement de la définition de la continuité uniforme.

  5. #4
    g_h

    Re : continuité uniforme

    Citation Envoyé par matthias
    Oui ça marche bien avec les suites, et c'est probablement le plus pratique. Ceci-dit ce n'est pas un mauvais exercice de le faire en partant directement de la définition de la continuité uniforme.
    Est-ce que tu pourrais préciser un peu comment tu ferais dans cet exemple ?
    Car pour appliquer directement la définition, il faut souvent voir une "grosse astuce" (enfin c'est ce que j'ai remarqué sur quelques cas !)

  6. #5
    planck

    Re : continuité uniforme

    non, on n'a pas vu cela, mais je pense avoir compris:

    pour montrer que inverse n'est pas u-continue, il suffit de montrer qu'il existe epsilon>0 tel que quelque soit a>0, il existe x et y dans I tel que |x-y|<a et |1/x-1/y|>=epsilon.

    donc avec epsilon=1:
    soit a dans IR+, n dans IN
    posons x=1/n et y=1/(n+1)
    on peut toujours trouver n tel que |1/n-1/(n+1)|<a, et alors on a |1/x-1/y|=1>= espilon

    cqfd

    en ce qui concerne la définition, j'ai essayé de la retourner dans tous les sens avec des encadrements sur ce que je savais de |1/x-1/y|, mais j'ai rien pu trouver de sympa

    en tout cas, merci beaucoup pour l'aide!

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    matthias

    Re : continuité uniforme

    Non sans grosse astuce, &#231;a rendrait d'ailleurs le probl&#232;me moins int&#233;ressant. Le but c'est de bien comprendre ce qu'est la continuit&#233; uniforme. Et si tu as bien compris la d&#233;monstration du crit&#232;re s&#233;quentiel &#231;a devient trivial.
    Tu peux le faire soit par l'absurde soit en &#233;crivant de mani&#232;re rigoureuse ce que signifie qu'une fonction n'est pas uniform&#233;ment continue.

    [EDIT: trop tard ...]

  9. Publicité
  10. #7
    matthias

    Re : continuité uniforme

    Citation Envoyé par planck
    en ce qui concerne la définition, j'ai essayé de la retourner dans tous les sens avec des encadrements sur ce que je savais de |1/x-1/y|, mais j'ai rien pu trouver de sympa
    Mais tu viens juste de redémontrer le critère séquentiel à partir de la définition, c'est encore mieux.
    Tu peux le faire dans le cas général en ce cas.

  11. #8
    planck

    Re : continuité uniforme

    Citation Envoyé par matthias
    Non sans grosse astuce, &#231;a rendrait d'ailleurs le probl&#232;me moins int&#233;ressant. Le but c'est de bien comprendre ce qu'est la continuit&#233; uniforme. Et si tu as bien compris la d&#233;monstration du crit&#232;re s&#233;quentiel &#231;a devient trivial.
    Tu peux le faire soit par l'absurde soit en &#233;crivant de mani&#232;re rigoureuse ce que signifie qu'une fonction n'est pas uniform&#233;ment continue.

    [EDIT: trop tard ...]
    c'est-&#224;-dire? je l'ai d&#233;montr&#233; de quelle fa&#231;on finalement?
    ce n'est pas de cette fa&#231;on, avec le crit&#232;re s&#233;quentiel? est ce que je me suis "bien entrain&#233;" finalement ou non??!

    EDIT: bon, bah merci... est ce que tu pourrais m'&#233;noncer de fa&#231;on rigoureuse la caracterisation sequentielle? je sens ce que c'est, mais une formulation rigoureuse m'aiderait!!

  12. #9
    g_h

    Re : continuité uniforme

    Ca revient à utiliser le critère séquentiel d'une façon un peu détournée, non ?

    La dedans on trouve quelques démos sur la continuité uniforme. Ce n'est pas bien méchant mais c'est quand même moins "coulant" qu'avec les suites !

    http://perso.wanadoo.fr/gilles.costa...iers/u-ctn.pdf (planck : je te recommande ce petit PDF )

  13. #10
    matthias

    Re : continuité uniforme

    Ce qui est important, c'est de bien savoir écrire la négation de f uniformément continue, ce que tu as fait sans problème, le reste c'est un peu du cas par cas, ce n'est pas le plus intéressant. Et ensuite tu vois qu'en introduisant une suite tu trouves facilement un x et un y qui conviennent. Sinon tu peux toujours prendre un x et un y en fonction de a, mais c'est un peu barbant à faire, il ne faut pas chercher d'astuce, mais plutôt utiliser des grosses majoration hyper bourrines (en général).

    Pour la formulation rigoureuse du critère séquentiel, je te laisse faire.
    Indice, tu as déjà quasiment le critère inverse. Remplace 1/x par une fonction quelconque, le "pour tout a" par "pour tout n" en prenant a = 1/n => il existe xn et yn ...
    En gros si ta fonction n'est pas uniformément continue tu peux construire une suite qui a une certaine propriété.

    Tu n'as plus qu'à prendre la contraposée.

    Si c'est pas clair, redemande

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