problème d'algèbre linéaire

[invite30999015]

Bonjour!
J'ai un petit souci sur une question de problème.
Il s'agit d'algèbre linéaire.

Pour situer:
Pour un réel k, on note Ak l'ensemble des endomorphismes u de E vérifiant:
u^2=ku.

On suppose que E est de dimension finie
Il faut montrer que lorsque k est différent de 0, on peut choisir une base de E pour que la matrice associée à u dans cette base soit diagonale.
Et que si k=0, en général (à préciser) il n'existe pas de base de E pour laquelle la matrice de u soit diagonale.

Dans les questions précédentes, j'ai déja montré que Im(u) et Ker(u) étaient des sous espaces supplémentaires de E. Mais je ne pense pas que ça serve ici
( j'ai: y=(1/k)u(x) et z=x-(1/k)u(x) avec x=y+z, y appartenant à Im(u) et z appartenant à Ker(u))

Si vous pouviez m'aider.... ce serait vraiment pas de refus
-----

[invité576543]

Bonjour,

Connais-tu les notions de vecteurs propres et de valeurs propres? Si oui, qu'est ce que ça veut dire "matrice diagonale" comme propriétés sur les valeurs propres?

Cordialement,

[invite30999015]

Hélas, nous n'avons pas encore vu les valeurs propres en cours, donc je ne peux pas les utiliser.

[invite30999015]

Enrevanche, il est rappelé au début du problème qu'on peut définir la trace d'un endomorphisme de E comme la trace de n'importe quelle matrice représentative de f (dans n'importe quelle base).

Désolé pour le double post, mais j'ai été un peu lente a "l'éditage" ^^

[A voir en vidéo sur Futura]