[Maths spé] Problème d'algèbre linéaire - Matrice antisymétrique

[invite7d436771]

Bonjour,

Je bloque sur un petit exercice d'algèbre linéaire : on considère A matrice réelle de taille n avec transposé(A)=-A. Montrer que toutes les valeurs propres de A sont imaginaires pures.
Je me suis donc mis en tête de trouver un polynôme annulateur dont j'espère qu'il n'aura que des racines imaginaires pures ... Mais je n'y arrive pas ... Alors peut-être qu'il faut que j'utilise que A² est symétrique et utiliser le théorème spectral ... Bref cette énoncé me laisse perplexe ... Donc si pouviez me donner une petite piste, ce serait vraiment cool ...

Merci d'avance,

Cordialement,

Nox
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[invite4ef352d8]

Salut !




tu as bien commencé : A² est symétrique donc diagonalisable dans R. donc les valeurs propres de A² sont réel, donc les valeurs propres de A sont soit réel soit imaginaire pur.

or en utilisant un peu de structure euclidienne on montre facilement par l'absurde que la seul valeur propres réel possible de A est 0. d'ou le résultat.

[invite7d436771]

Rebonjour,

J'ai pensé à une méthode bizarre et j'aimerai quelques commentaires dessus svp.
Je suppose que A=PDP^-1 avec D diagonale, alors A²=PD²P^-1 donc -A²=P(-D²)P^-1 Or -A² est symétrique de manière quasi-immédiate et même définie positive (si on suppose A non nulle) donc son spectre est inclus dans R+* (c'est la question précédente de mon exercice). on a donc -a²>0 où a est une valeur propre (quelconque - en fait c'est lambda i d'habitude) donc a²<0 ce qui impose a imaginaire pur (par une petite démo sur la forme algébrique d'un complexe mise au carré).

Mon seul ennui réside dans le fait que je suppose A diagonalisable au tout début (et que la caractère défni positif de A² n'est peut-être pas démontré suffisament rigoureusement). J'aimerai donc savoir comment je pourrais montrer que toute matrice antisymétrique est diagonalisable - si un tel résultat est vrai bien sûr ...

Cordialement,

Nox

[invite7d436771]

bonjour Ksilver et merci de m'avoir répondu.

En explorant ta piste je rencontre un problème puisque je ne peux pas dire que les valeurs propres de A² sont les valeurs propes de A élevées au carré il me semble ... sinon effectivement je pourrai conclure comme indiqué dans mon autre post ... En fait je ne comprends pas vraiment comment tu passes de les vp de A² sont réelles donc les vp de A sont réelles ou imaginaires pures ...

Merci de ton aide,

Cordialement,

Nox

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite7d436771]

Rebonsoir,

En fait je pense avoir compris :
Je dis que l'ensemble des vp de A élevées au carré est inclus dans le spectre de A², lui-même inclus dans R+* car A² est symétrique définie positive donc le spectre de A est onclus dans l'ensemble des imaginiares purs ...
Ce qui est a peu près la méthode que j'ai dévelopée dans un message précédent, sauf que je n'ai pas à supposer A diagonalisable ... Et le fait que je montre que A² est définie positive m'évite de mettre en place la deuxième étape de ta démarhce si j'ai bien tout compris ...

Cordialement,

Nox

PS j'aimerai avoir confirmation, mais les matrices symétriques ne sont pas toutes diagonalisables n'est-ce pas ?

[invite4ef352d8]

mais les matrices symétriques ne sont pas toutes diagonalisables n'est-ce pas ? >>> si, elle sont tous diagonalisable dans R et en base orthonormé.
(si tu parle des matrice anti-symétrique, elle ne sont pas diagonalisable dans R (car les vp ce sont pas réel...) mais elles le sont toujour dans C)




on reprend :

A² est symétrique donc diagonalisable dans R. les valeurs propres de A élevé au caré sont des valeurs propres de A² donc réel.

soit v une valeur propres réel de A et x le vecteur propre associé.
on alors (f(x)|x)=-(x|f(x) )
donc f(x)|x= v||x||² =0, d'ou v=0.

donc les seuls valeur propres complexe possible de A sont imaginaire purs (elles sont pas réel mais leurs caré est réel...)

[invite42abb461]

Sinon en utilisant le produit hermitien on montre facilement qu'une valeur propre a de A verifie a barre = - a donc est imaginaire pure...

[invite4ef352d8]

ouai, mais le produit hermitien c'est plus au programe depuis au moins 10 ans je crois

[invite42abb461]

http://prepas.org/ProgrammesCPGE/MathematiquesMP.pdf
Page 15/38, paragraphe 3.

[invite4ef352d8]

ouai, mais ce dont tu as bessoin c'est de savoir ce qu'est l'endomorphismes adjoint pour le produit hermitien, et ca ce n'est plus au programe depuis tres longtemps.

[invite5e1117d5]

Une petite remarque en passant :

Ta matrice est dite normale, car elle commute avec sa transposée (car antiysymétrique). On a alors un résultat, qui donne qu'elle est diagonalisable sur C. Mais les méthodes présentées fonctionnent également. On peut également montrer qu'une matrice antisymétrique sur R est semblable à une matrice de la forme suivante :


où

[invite42abb461]

Pour ce qui est du produit hermitien, on a pas besoin de la propriété de la matrice adjointe, il suffit d'ecrire matriciellement Ax=ax, conjuguer, transposer, utiliser la réalité de A, les propriétés de semi linéarité du produit hermitien et le tour est joué en 2 lignes. C'est un peu relou a rédiger en TEX mais si tu veux nox demande je le rédige.

[invite6b1e2c2e]

Salut,

Une remarque qui peut vous être utile:
A² diagonalisable inversible => A diagonalisable.

On utilise : M diagonalisable ssi son polynôme minimal est scindé à racines simples.

Ici, cela peut donc se faire en prenant le polynome minimal de A², qui s'écrit
,, avec a_i qui parcoure le spectre de A², sans les multiplicités.
On pose . Alors le polynome
est scindé, à racines simples (car b_i différent de 0 car A² inversible) et annule A. Donc le polynome minimal de A, qui divise Q est aussi scindé à racines simples, et donc A est diagonalisable.

Evidemment, cette preuve ne s'adapte pas pour A² pas inversible comme on peut s'en convaincre en regardant


Il faut donc traiter à la main le cas de la valeur propre 0, mais le gros du travail est déjà fait

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rvz