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Matrice antisymétrique + Identité



  1. #1
    Ayrawhsia Aathsir Tia

    Matrice antisymétrique + Identité


    ------

    Salut à tous !
    Dans un exo, il faut montrer que toute matrice antisymétrique à laquelle on ajoute l'identité est inversible.
    Je pense que le calcul du déterminant est infaisable.
    J'ai donc tenté de le faire par l'absurde.
    Si elle n'est pas inversible, -1 est valeur propre de A.
    A partir de là, j'ai essayé d'aboutir à un truc du genre ||X||²=-||X||²
    (où X est un vector propre associé à -1)...

    Mais ca ne marche pas...

    Si quelqu'un a une autre piste ...

    Merci

    -----

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  3. #2
    invite43219988

    Re : Matrice antisymétrique + Identité

    Bonjour.
    Juste une idée comme ça.
    Pour que ta matrice soit inversible, il faut et il suffit que son déterminant soit différent de 0.
    En utilisant le fait que transposée(A)=-A pour une matrice antisymétrique, ne peut-on pas arriver à montrer la non nullité du déterminant ?

  4. #3
    invite43219988

    Re : Matrice antisymétrique + Identité

    Bon bah j'arrive à rien...
    J'ai essayé quelque chose du genre :
    det(A+I)=det(-trans(A)+I)=det(trans(I-A))=det(I-A) mais c'est pas très concluant

  5. #4
    Blueberry

    Re : Matrice antisymétrique + Identité

    Bonsoir,

    Si A est antisymétrique pour tout X : donc en prenant un vecteur propre X de valeur propre -1 on arrive à X=0

  6. #5
    Romain-des-Bois

    Re : Matrice antisymétrique + Identité

    Bonjour !

    Si on calcule (tA + I)(A+I), on trouve une matrice symétrique définie positive (c'est facile à voir, sur la diagonale, il n'y a que des sommes de carrés + 1).

    Donc il existe P telle que tP(tA + I)(A+I)P = I, donc 0 n'est pas valeur propre de A+I (dans une certaine base, on a la matrice inverse), et donc A+I est inversible.

    Romain
    Dernière modification par Romain-des-Bois ; 18/05/2007 à 10h24. Motif: Bonjour

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    Ayrawhsia Aathsir Tia

    Re : Matrice antisymétrique + Identité

    Oki merci à vous. La solution de Blueberry est celle que je cherchais

    @++

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