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Valeurs propres d'un endomorphisme antisymétrique.



  1. #1
    Gpadide

    Valeurs propres d'un endomorphisme antisymétrique.


    ------

    Bonjour,
    je rappelle qu'un tel endomorphisme u vérifie :

    u* = -u

    Soit x un vecteur propre de u associé a la valeur propre a . Alors, pour tout y :

    u(x)|y= x|u*(y)= - x|u(y).

    Donc en particulier pour y = x :

    a ||x||= - a ||x||, d'ou a=0.

    Je suis en train de montrer que les valeurs propres de u sont toutes nulles, cela m'inquiete. Ou ais-je commis une erreur ?
    Merci.

    -----

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  3. #2
    GuYem

    Re : Valeurs propres d'un endomorphisme antisymétrique.

    Ca n'a pas l'air trop moche ... mais c'est vrai que je n'ai jamais vu un tel résultat !

    Du coup, quel serait un éventuel lien avec les endomorphismes nilpotents ?
    Bravo jolie Ln, tu as trouvé : l'armée de l'air c'est là où on peut te tenir par la main.

  4. #3
    Ksilver

    Re : Valeurs propres d'un endomorphisme antisymétrique.

    Salut !


    errata :tu as prouvé que toute les valeurs propres réel d'un endomirphsime antisymétrique sont nul.


    en réalité, les endomorphsime anti-symétriques ont toute leurs valeurs propres imaginaire pures

  5. #4
    GuYem

    Re : Valeurs propres d'un endomorphisme antisymétrique.

    Exact, bien vu Ksilver !

    Il y a un "a barre" qui doit sortir quelque part dans ton produit scalaire.
    Bravo jolie Ln, tu as trouvé : l'armée de l'air c'est là où on peut te tenir par la main.

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    Gpadide

    Re : Valeurs propres d'un endomorphisme antisymétrique.

    Mais mon espace est euclidien . Je l'ai donc muni du produit scalaire canonique "normal" (enfin pas hermitien). Donc pourquoi mettrais-je une barre ?

  8. #6
    Blueberry

    Re : Valeurs propres d'un endomorphisme antisymétrique.

    Bonjour,

    peut-être que cela prouve qu'un endomorphisme antisymétrique a toutes ses valeurs propres nulles (il serait donc nilpotent..).

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  10. #7
    Ksilver

    Re : Valeurs propres d'un endomorphisme antisymétrique.

    ca j'en sais trop rien, j'ai jammais étudié les espaces hermitiens pour le moment. mais la démonstration que tu fait n'est vrai que dans R. tu prouve donc qu'une endomorphisme antisymétrique a toute ces valeurs propres réel nul. mais tu n'apprend rien sur ces valeurs propres complexe.


    pour montrer que les valeur propres sont imaginaire pur en revanche...
    je pense qu'on doit pouvoir s'en sortir en mettant en evidence des plan orthogonaux stable par f et en montrons que sur chacun de ces plan la restriction de f a un polynome minimal en x²+a... j'ai déja rencontré ce résultat comme "sous produit" de résultat sur la diagonalisation "partiel" d'endomorphsime anti-symétrique en base orthonormé, ou bien sur l'exponentielle de matrice anti-symétrique. mais je connait pas de preuve "élementaire" (dans le sens courte) de ce résultat... mais peut-etre qu'en introduisant un produit scalaire hermitiens on peu faire quelque chose comme le sugère GuYem

  11. #8
    Blueberry

    Re : Valeurs propres d'un endomorphisme antisymétrique.

    Euh...les endomorphismes antisymétriques tous nilpotents, je crois que j'ai dû dire une grosse bêtise effectivement.

  12. #9
    Gpadide

    Re : Valeurs propres d'un endomorphisme antisymétrique.

    Citation Envoyé par Ksilver Voir le message
    mais je connait pas de preuve "élementaire" (dans le sens courte) de ce résultat... mais peut-etre qu'en introduisant un produit scalaire hermitiens on peu faire quelque chose comme le sugère GuYem
    Pour ca j'ai ce qu'il faut :
    ecrire l'égalité SX=aX, puis la conjuguer (S reste elle meme car elle est réelle). Transposer l'une des deux égalités, puis la multiplier par transposée de X et lautre par "transpoée de X barre " de maniere a faire apparaitre
    a barre = -a : faire revenir a la poele et c'est pret.
    Désolé mais il est trop tard pour le latex (:
    (redemandez moi si g pas été assez clair)

  13. #10
    GuYem

    Re : Valeurs propres d'un endomorphisme antisymétrique.

    Citation Envoyé par Gpadide Voir le message
    Mais mon espace est euclidien . Je l'ai donc muni du produit scalaire canonique "normal" (enfin pas hermitien). Donc pourquoi mettrais-je une barre ?
    Salut,

    Je réagis là dessus car je crois que c'est là que c'est important : d'accord tu as pris un espace euclidien, avec un produit scalaire euclidien ; mais cela ne force pas tes valeurs propres à être réelles ! Une matrice, ça a des valeurs propres qui sont ce qu'elles sont et c'est pas en te disant "je travaille avec un produit scalaire euclidien" que tu vas changer ces valeurs propres, tu vois ?

    Je crois que ce que tu as écris dans ton premier post est bon, mais voilà ce que tu as montré :

    -Soit a une valeur propre réelle de u, alors le calcul que tu as fait en premier message marche (puisque pour tout a réel puisque ton produit scalaire est euclidien), et a est nulle.

    -Maintenant, si a est complexe, t'es bloqué puisque tu ne connais pas la réaction de ton ps vis à vis des scalaires complexes. Tu peux "étendre" ton ps et ton espace pour le définir sur le corps C et là tu montres, avec le même calcul que a est imaginaire pur.

    En espérant être clair, et pour résumer : les valeurs propres réelles de u antisymétrique sont nulles.
    Bravo jolie Ln, tu as trouvé : l'armée de l'air c'est là où on peut te tenir par la main.

  14. #11
    IceDL

    Re : Valeurs propres d'un endomorphisme antisymétrique.

    Bonjour a tous,

    Je suis d'accord avec presque tout ce qui a ete dit mais je crois qu'il y a un petit probleme de contexte :

    On parle d'un endomorphisme antisymetrique d'un espace prehilbertien reel. Comme l'a demontre gpadide toutes ses valeurs propres, s'il en possede (ce qui n'est pas toujours vrai) sont nulles.

    En effet, quand on parle de valeurs propres, on parle toujours de scalaires du corps de base. Ici, la notion de valeur propre complexe pour un endomorphisme d'un R-espace vectoriel n'a pas de sens.

    Apres si l'on est en dimension finie, rien n'empeche de considerer sa matrice dans une bon et de la considerer comme une matrice complexe, mais c'est un autre probleme...(et au passage, c'est la bonne methode pour trouver une reduction )

    Dites moi si je me trompes.

    @+

    PS : sorry pour les accents, qwerty oblige.

  15. #12
    GuYem

    Re : Valeurs propres d'un endomorphisme antisymétrique.

    Je suis pas trop trop d'accord avec toi sur la définition de valeur propres IceDL.

    Si on les définit comme les racines du polynôme caractéristiques, rien ne prouve qu'elles sont dans le corps de base. A part ce petit problème, je pense qu'on est d'accord tout de même : une matrice antisymétrique n'a que des valeurs propres réelles nulles.
    Bravo jolie Ln, tu as trouvé : l'armée de l'air c'est là où on peut te tenir par la main.

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  17. #13
    IceDL

    Re : Valeurs propres d'un endomorphisme antisymétrique.

    Citation Envoyé par GuYem Voir le message
    Je suis pas trop trop d'accord avec toi sur la définition de valeur propres IceDL.

    Si on les définit comme les racines du polynôme caractéristiques, rien ne prouve qu'elles sont dans le corps de base. A part ce petit problème, je pense qu'on est d'accord tout de même : une matrice antisymétrique n'a que des valeurs propres réelles nulles.
    Bien justement, la definition d'une valeur propre n'est pas d'etre racine du polynome caracteristique...

    "Soit E un espace vectoriel sur K et u un endomorphisme de E, alors :

    Le vecteur x de E non nul est dit vecteur propre de u si et seulement s'il existe un élément λ de K tel que u(x) = λx,
    le scalaire λ élément de K est dit valeur propre de u si et seulement s'il existe un vecteur x non nul de E tel que u(x) = λx"

    Bon je sais je pinaille c'est juste une question de vocabulaire, histoire que gpadide ait les idees claires la-dessus.

  18. #14
    GuYem

    Re : Valeurs propres d'un endomorphisme antisymétrique.

    En effet, je crois que ta définition est la bonne.

    Du coup on peut énoncer, un endomorphisme antisymétrique sur un espace réel n'a que des valeurs propres nulles. Il y a donc un rapport avec les nilpotents ...
    Bravo jolie Ln, tu as trouvé : l'armée de l'air c'est là où on peut te tenir par la main.

  19. #15
    Blueberry

    Re : Valeurs propres d'un endomorphisme antisymétrique.

    Bonjour,

    par exemple l'endomorphisme :

    (0 1)
    (-1 0)

    est antisymétrique et pas nilpotent pour un sous puisqu'inversible.

  20. #16
    Ksilver

    Re : Valeurs propres d'un endomorphisme antisymétrique.

    "Il y a donc un rapport avec les nilpotents ...">>> non aucun rapport.


    la seul matrice antisymétrique nilpotente est la matrice nul.

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