Valeurs et vecteurs propres d'un opérateur linéaire

[Bleyblue]

Bonjour,

Je cherche les valeurs propres et les vecteurs propres de l'opérateur linéaire :



Cela nécessite la matrice M de f dans une certaine base B de l'espace vectoriel

Comme les valeurs et vecteurs propres ne dépendent pas du choix de la base je peux choisir la base canonique c'est à dire B = {(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)}

f(1,0,0) = (1,2,1)
f(0,1,0) = (-1,3,1)
f(0,0,1) = (0,2,2)

Donc



Si le scalaire est valeur propre alors il existe un vecteur (x,y,z des réels non tous nuls) tel que :



Si

alors cela équivaut à :

(I désigne la matrice identité)



Pour que ce système d'équations linéaires homogènes (X est la matrice des inconnues et M - lambdaI la matrice des coefficients) admette une solution non triviale il faut :



C'est à dire :



Si j'essaye de simplifier un peu ce calcul de déterminant par application des propriétés du déterminant :









Donc les valeurs propres sont 1,3,2

Cherchons les vecteurs propres :

Pour



donc



En effectuant on tombe sur un système qui nous fournit le sous espace propre de valeur 1 comme solution à savoir :



Et on fait de même pour les valeurs propres 2 et 3.

Pouvez-vous me dire si ça vous semble juste tout ça ?

merci
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[invitedf667161]

Ca me parait trés bon !

Il va nous la diagonaliser la matrice le petit Beyblue, keep going

[invite6de5f0ac]

Mais c'est très bien tout ça...

Sauf que tu n'as meme pas de question à te poser sur quelle base choisir (canonique ou pas), les équations de la transformation te sont données dans n'importe quelle base, et tout ce que tu as à faire c'est trouver les vecteurs propres dans la même base.

Ce que tu fais très bien.

-- françois

[Bleyblue]

Ah bien bien merci

Mais maintenant je fatigue donc je vais aller me coucher, ça sera pour demain la diagonalisation.

Bonne soirée !

[A voir en vidéo sur Futura]

[erik]

C'est juste.

Pas besoin de parler de base canonique au tout début, il te suffit de réecrire f, c'est immédiat :
Si

Alors

[Bleyblue]

Ah d'accord merci

Et sinon pour la diagonalisation ça n'est pas bien difficile une fois trouvées les valeurs propres.

B' = {(1,0,-1), (-1,1,1/2), (1,-2,1)} forme une base de formée de vecteurs propres de l'opérateur f.

f(1,0,-1) = (1,0,-1)
f(-1,1,1/2) = 2(-1,1,1/2)
f(1,-2,-1) = 3(1,-2,-1)

donc :



et voilà

[invite6de5f0ac]

donc :



et voilà

Et voilà. Comme tu dis.

Maintenant, puisque tu sais faire: (je n'aime pas trop écrire les matrices en TeX, alors je donne juste les équations):

f(x,y,z) = (y - x, y, z)

Les valeurs propres sont évidentes (je n'allais pas compliquer avec un changement de base). Diagonaliser en précisant une base de vecteurs propres. Interprétation géométrique?

Je sais, je suis pervers.

-- françois

[Bleyblue]

Je me suis peut être trompé quelque part mais ça me semble être un cas tout a fait normal

Le polynôme caractéristique est :



La valeur propre 1 nous fournit un sous espace propre de dimension 2, la valeur propre - 1 un sous espace propre de dimension 1 donc la matrice est :



non ?

merci

EDIT : J'oubliais la base de vecteurs propres : B = {(1,-2,0), (0,0,1), (1,0,0)}
Les deux premiers vecteurs sont des vecteurs propres de valeur propre 1, le troisième de valeur propre - 1

[invitec314d025]

Le polynôme caractéristique est :

Est-il vraiment nécessaire de calculer le polynôme caractéristique pour déterminer les valeurs propres d'une matrice triangulaire ?

[Bleyblue]

Je dois dire que je ne vois pas en quoi le fait d'avoir une matrice triangulaire nous permet de trouver les valeurs propres plus facilement ...

[invitec314d025]

Il suffit de regarder les valeurs sur la diagonale.

[Bleyblue]

Ah mais oui, c'est drôle

Je ne comprend pas pourquoi, je vais essayer de réfléchir un peu

merci

[invite6de5f0ac]

C'est non seulement un cas tout-à-fait normal, mais encore particulièrement simple...

C'est surtout l'interprétation géométrique que je voulais te faire dire. Par exemple, que l'espace propre associé à la valeur propre 1 est un plan, et que deux vecteurs propres (presque) quelconques (pas trop tout de même, il faut qu'il soient indépendants) en constituent une base. Et que donc la matrice est sous forme diagonale dans plein plein plein de bases différentes. Tout ça, quoi.

-- françois

[Bleyblue]

Ah oui mais pour le coup de l'espace propre de valeur propre 1 c'est évident car si on injecte lambda = 1 dans a matrice on se ramène à :

y - 2x = 0

ce qui est bien l'équation d'un plan de




merci

[invite6de5f0ac]

Ah oui mais pour le coup de l'espace propre de valeur propre 1 c'est évident car si on injecte lambda = 1 dans a matrice on se ramène à :

y - 2x = 0

ce qui est bien l'équation d'un plan de

Jusque là, je ne t'en demandais pas plus...

Oui. Mais aussi Vec[(-1,2,1),(1,-2,1)]. Et aussi d'autres.

-- françois

[Bleyblue]

oui.

Bien, merci !

[invite6de5f0ac]

oui.

Bien, merci !

En fait, ce que je voulais te faire dire, c'est que tout vecteur s'écrit u = u⁺ + u^- où u⁺ est dans le sev propre V⁺ de v.p. (+1) et u^- dans celui V^- de v.p (-1).
Donc
f(u) = f(u⁺) + f(u^-) = u⁺ - u^-
et encore
f²(u) = f(f(u)) = u⁺ + u^- = u

ce qui n'est pas très surprenant en soi. Mais aussi que si u est dans V⁺ il est inchangé, et s'il est dans V^- il est changé en son opposé.

Si tu fais un dessin, tu vois que f est une symétrie de direction V^-, qui laisse fixe le plan V⁺.

C'était une petite illustration géométrique, pour montrer que les calculs ne sont pas forcément nécessaires...

-- françois

[Bleyblue]

C'est chouette oui, je vais lire ça demain à mon aise car la je suis fatigué (je n'aime pas travailler le soir )

merci beaucoup en tout cas !

[invitebb921944]

Bonjour tout le monde !
J'aimerais simplement connaître le raisonnement pour retrouver f(x,y,z) à l'aide de la première matrice diagonale déterminée par Beyblue, dans la base B'. J'ai beau chercher, je ne vois pas comment trouver
(x-y,2x+3y+2z,x,y,2z).
Merci d'avance !

[invitebb921944]

Vraiment désolé d'insister mais je vais partir pour la semaine et j'aimerais vraiment comprendre. J'imagine que ce n'est pas un calcul très dur à faire. N'auriez vous pas simplement une remarque ou une suggestion ?
Encore désolé !

[invite6de5f0ac]

Vraiment désolé d'insister mais je vais partir pour la semaine et j'aimerais vraiment comprendre. J'imagine que ce n'est pas un calcul très dur à faire. N'auriez vous pas simplement une remarque ou une suggestion ?
Encore désolé !

Il faut écrire le changement de base qui permet de passer de la base initiale dans la base de vecteurs propres (ou réciproquement). Je n'ai pas trop le temps de détailler le calcul ici, mais si tu as, disons, 3 vecteurs u₁, u₂, u₃ tels que f(u_i) = m_iu_i où les m_i sont les valeurs propres, tu écris (x,y,z) = au₁+bu₂+cu₃ , d'où f(x,y,z) = a.m₁u₁ + b.m₂u₂ + c.m₃u₃, et tu identifies...

Je ne suis peut-être pas très clair, mais essaye au moins une fois (même avec une matrice 2x2 éventuellement, pour te simplifier le boulot), tu verras tout de suite le principe.

-- françois

[invitebb921944]

Merci beaucoup !

[Bleyblue]

En fait tu as la matrice M' dans la base B' et tu veux retrouver la matrice M dans la base B.

1) Tu trouves les composantes des vecteurs de la base B ( (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1) ) dans la base B'

2) Tu trouves l'images de ces vecteurs par M' (en faisant un produit matriciel)

3) Tu passe trouves les composantes des vecteurs résultants dans la base B et si tu ne t'es pas trompé ces composantes sont (1,2,1), (-1,3,1), (0,2,2)

[Bleyblue]

J'essaie de démontrer que si b est une valeur propre de la matrice carrée M alors 2b est une valeur propre de 2M

b est valeur propre de M cela veut dire que (n est la dimension de la matrice) pour certain x1,x2, ..., xn



avec :



Si je multiplie les deux membres de l'égalité par deux :



et 2M par définition de la multiplication (d'une matrice) par un scalaire c'est :



Donc c'est démontré

C'est bon ?

merci

[invite4793db90]

Salut,

en plus court : si est valeur propre de f, i.e. où est un vecteur propre associé à , alors et donc est valeur propre de af.

En outre, connaissant les vecteurs propres de f, on connait ceux de af : ce sont les mêmes.

Cordialement.

[Bleyblue]

D'accord, je me suis compliqué la vie en fait (et vive le code latex )

merci !

[Bleyblue]

J'ai ici une démonstration du fait qu'une matrice 3 * 3 de rang 2 admet toujours une valeur propre nulle.

Si M est la matrice :

dim Ker(M) + dim Im(M) = dim(V)

c'est à dire :

dim Ker(M) + 2 = 3 donc dim Ker(M) = 1

Il esxiste donc non nul tel que

donc a = 0 est valeur propre

Mais je ne comprends pas bien pourquoi le fait que la dimension du noyau soit égale à 1 implique qu'il existe un vecteur v NON NUL tel que f(v) = 0

Si le noyau est formé du seul vecteur v = (0,0,0) alors je peux dire que :

Ker M = vect{(0,0,0)} donc une base de ce sous espace (formé d'un seule élément mais ça n'en reste pas moins un sous espace vectoriel non ?) est formé d'un seule élément ( (0,0,0) ) et donc sa dimension est de 1.

non ?

merci

[erik]

salut,

vect{(0,0,0)}={0}, l'espace vectoriel nul, n'admet pas de base et sa dimension est égale à zéro.

Donc si ton noyau est de dimension 1, il existe bien un v (non nul) tel que f(v)=0

[erik]

je précise :

par définition une base est une famille libre et génératrice de l'espace vectoriel.
supposons que le vecteur (0,0,0) soit une base de vect{(0,0,0)}.
Il est bien générateur, jusque là tout va bien.
par contre l'hypothèse libre impliquerait : a.(0,0,0)=0 si et seulement si a=0, et là ce n'est pas le cas (a peu valoir n'importe quoi)

La famille formée du seul vecteur nul n'est donc pas libre.

Une autre façon de voir la chose est de dire que si le vecteur nul pouvait être un des vecteurs d'une base d'un e.v, on pourrait pour n'importe quel e.v. le rajouter ou pas à la base de cet e.v , et la notion de dimension ne pourrait plus être définie.

[Bleyblue]

Ah oui effectivement j'avais oublié ça.

Il me semble que c'est le seule (sous espace vectoriel de ) qui ai zéro pour dimension non ?

merci

EDIT : Ce que tu as dit dans ton premier message (le sous espace vectoriel nul n'admet aucune base) est valable pour tout e.v (ne contenant que l'élément nul ) ?