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primitive (cos(x))^k



  1. #1
    red1754

    primitive (cos(x))^k


    ------

    Bonjour à tous.

    Je suis en train de preparer un examen de math

    Je recherche comment primitiver (cos(x))k

    Je suppose qu'il faut utiliser la formule de trigo : cosk-1 =(1-sin²)(k-1)/2

    Merci d'avance à ceux qui pourront m'aider

    -----

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  3. #2
    Bleyblue

    Re : primitive (cos(x))^k

    Salut,

    Ca dépend de la parité de k.

    S'il est impair tu peux poser t = sin(x)
    S'il est pair alors tu peux poser t = tg(x)

    Note que s'il est pair alors tu obtiens quelque chose d'assez compliqué à integrer même avec le changement de variable ci dessus.

    Tu peux aussi essayer de "linéariser" avec les formules : cos²(x) = (1 + cos(2x))/2 et sin²(x) = (1 - cos(2x)) /2

  4. #3
    red1754

    Re : primitive (cos(x))^k

    Merci ; je vais tenter ça meme si je crois pa que j'arriverai à une reponse satisfaisante

  5. #4
    erff

    Re : primitive (cos(x))^k

    Salut, tu peux aussi trouver une relation de récurrence entre I(k) et I(k-2) en écrivant Ik=intégrale(0,x,cos²(t)*cos(t )^(k-2)dt) en utilisant que cos²=1-sin²et en faisant une intégration par partie (dérive le sin et primitive le sin*cos^(k-2) comme du u'*u^n)

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    Bleyblue

    Re : primitive (cos(x))^k

    Tu cherches à trouver une expression toute faite pour toute valeur de k ? Ca risque d'être dur

  8. #6
    ericcc

    Re : primitive (cos(x))^k

    La formule générale donnée par The Integrator est indigeste et comporte la fonction Hypergéométrique 2F1(a,b,c,x)...

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  10. #7
    lolouki

    Re : primitive (cos(x))^k

    bonjour,
    Si le k est fixé, il faut lineariser c'est (je pense) la meilleure solution .

  11. #8
    Bleyblue

    Re : primitive (cos(x))^k

    Si k est pair je pense aussi mais si k est impair alors en posant t = sin(x) on se ramène à intégrer :

    ce qui n'est pas trop dur (sauf si k = 101 mais bon dans ce cas la linéarisation c'est aussi la mort )

  12. #9
    red1754

    Re : primitive (cos(x))^k

    Je passe cet exam ajd ; merci pour votre aide !

    Je posterai la reponse pour ceux que ca interesse

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