primitive (cos(x))^k

[inviteacf88db2]

Bonjour à tous.

Je suis en train de preparer un examen de math

Je recherche comment primitiver (cos(x))^k

Je suppose qu'il faut utiliser la formule de trigo : cos^k-1 =(1-sin²)^(k-1)/2

Merci d'avance à ceux qui pourront m'aider
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[Bleyblue]

Salut,

Ca dépend de la parité de k.

S'il est impair tu peux poser t = sin(x)
S'il est pair alors tu peux poser t = tg(x)

Note que s'il est pair alors tu obtiens quelque chose d'assez compliqué à integrer même avec le changement de variable ci dessus.

Tu peux aussi essayer de "linéariser" avec les formules : cos²(x) = (1 + cos(2x))/2 et sin²(x) = (1 - cos(2x)) /2

[inviteacf88db2]

Merci ; je vais tenter ça meme si je crois pa que j'arriverai à une reponse satisfaisante

[erff]

Salut, tu peux aussi trouver une relation de récurrence entre I(k) et I(k-2) en écrivant Ik=intégrale(0,x,cos²(t)*cos(t )^(k-2)dt) en utilisant que cos²=1-sin²et en faisant une intégration par partie (dérive le sin et primitive le sin*cos^(k-2) comme du u'*u^n)

[A voir en vidéo sur Futura]

[Bleyblue]

Tu cherches à trouver une expression toute faite pour toute valeur de k ? Ca risque d'être dur

[inviteaf1870ed]

La formule générale donnée par The Integrator est indigeste et comporte la fonction Hypergéométrique 2F1(a,b,c,x)...

[invite2ece6a9a]

bonjour,
Si le k est fixé, il faut lineariser c'est (je pense) la meilleure solution .

[Bleyblue]

Si k est pair je pense aussi mais si k est impair alors en posant t = sin(x) on se ramène à intégrer :

ce qui n'est pas trop dur (sauf si k = 101 mais bon dans ce cas la linéarisation c'est aussi la mort )

[inviteacf88db2]

Je passe cet exam ajd ; merci pour votre aide !

Je posterai la reponse pour ceux que ca interesse