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Simplification du quotient de 2 fonctions du type a+b*cos(2x)+c*cos(4x)



  1. #1
    pola4619

    Simplification du quotient de 2 fonctions du type a+b*cos(2x)+c*cos(4x)


    ------

    Bonjour à tous,
    Je vous présente ici un problème que j'ai à résoudre dans le cadre de mon travail et mes notions de maths sont un peu loin alors j'ai du mal à savoir par où commencer.
    J'ai deux fonctions X=A0+A1*cos(2x)+A2*cos(4x) et Y=A3+A4*cos(2x)+A5*cos(4x).
    Et j'ai Z=(X-Y)/(X+2*Y), c'est à dire
    Z= ((A0-A3)+(A1-A4)*cos(2x)+(A2-A5)*cos(4x)) / ((A0+2*A3)+(A1+2*A4)*cos(2x)+( A2+2*A5)*cos(4x)).
    Or, j'aurais besoin d'écrire Z sous la forme:
    Z= B0+B1*cos(2x)+B2*cos(4x) avec les coefficients B0, B1 et B2 qui seraient fonction des coefficients A0 à A5.

    J'ai essayé de procéder par identification mais je n'arrive pas à simplifier mes expressions à cause de tout ces coefficients...
    Si quelqu'un a une méthode ou un théorème à me conseiller, ce serait très sympa.
    Merci d'avance

    -----

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  3. #2
    matthias

    Re : Simplification du quotient de 2 fonctions du type a+b*cos(2x)+c*cos(4x)

    A première vue, ça ne va pas être possible, sauf cas particuliers.

  4. #3
    pola4619

    Re : Simplification du quotient de 2 fonctions du type a+b*cos(2x)+c*cos(4x)

    ha...
    et crois tu que c'est au moins possible de ramener ce quotient à une fonction quelconque de sin(nx), cos(nx) ?

  5. #4
    homotopie

    Re : Simplification du quotient de 2 fonctions du type a+b*cos(2x)+c*cos(4x)

    Bonjour,
    sans quotient : il faudrait que les coefficients soient particuliers. En effet, dans le cas général, le quotient aura des racines et donc des "valeurs interdites" ou pôles. Or, une écriture en fonction de cos(nx) et sin(nx) n'aura pas ce type de valeurs particulières.
    Sinon, deux formules susceptibles de pouvoir t'aider :
    cos(2x)=2cos²(x)-1
    cos(4x)=

    cordialement

  6. #5
    pola4619

    Re : Simplification du quotient de 2 fonctions du type a+b*cos(2x)+c*cos(4x)

    Oui, la seule particularité des coefficients est que en théorie A5=-A2...
    Pour l'histoire: en pratique, A0 à A5 sont des coefficients que je trouve en fittant des résultats issus de mesures physiques: je mesure X et Y et je fais un fit pour connaitre les coef A. Puis je calcule Z qui est une grandeur physique qui m'intéresse (Z=(X-Y)/(X+2*Y)), mais là je vois que Z semble également avoir la forme d'une fonction du type a+b*cos(2x)+c*cos(4x).
    C'est pour ça que je voulais retrouver par le calcul une expression de ce type.

    Merci pour votre aide

    Cordialement

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    homotopie

    Re : Simplification du quotient de 2 fonctions du type a+b*cos(2x)+c*cos(4x)

    Bonjour,
    si le graphe de Z a toujours une allure de celui d'une fonction du type m+ncos(2x)+pcos(4x) :
    i) cela signifie qu'il n'y a pas de racines réelles à X+2Y=0 (sinon asymtôtes verticles en ces racines) [néanmoins, X+2Y a des racines complexes, donc toujours pas de formules générales possibles]
    ii) que les fonctions pi-périodique, paire... sont stables par produit et quotient et s'écrivent assez bien comme série de fonctions cos(nx)

    Une voie que tu peux explorer est celle-ci :
    1) A partir des A0,A1,..., A5 et de l'égalité cherchée (qui ne pourra être qu'une approximation si les coefficients ne sont pas plus coréllées que par la relation A5=-A2) écrire les égalités qui en découlent pour x=0, x=pi/12 (pas de panique on mulitplie au moins par 2), x=pi/8,x=pi/6,x=pi/3,x=pi/4.
    2) Il y a déjà là 6 équations à satisfaire pour les 3 coefficients de Z, donc par triplets plusieurs solutions possibles (il n'est pas nécessairement utiles d'utiliser tous les triplets)
    3) De là, soient les diverses solutions sont très différentes et dans ce cas l'allure en m+ncos(2x)+pcos(4x) est une illusion, soient elles sont relativement proches dans ce cas, le développement en série de Fourier de Z a comme partie principale m+ncos(2x)+pcos(4x), cette dernière est une bonne (suffisante?) approximation.
    Si c'est une bonne appproximation alors tenter d'utiliser l'analyse de Fourier pour calculer ou minorer la différence entre Z et le début de son développement en série de Fourier.

    Bon courage

    Cordialement

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