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valeurs et vecteurs propres d'un endomorphisme.



  1. #1
    rasengan

    valeurs et vecteurs propres d'un endomorphisme.


    ------

    salut.pour determiner les valeurs et vecteurs propres d'une matrice M on doit calculer le polynome caracteristique de M et ensuite determiner les sous-espaces propres...ça je le sais.
    mais comment determiner les valeurs et vecteurs propres d'un endomorphisme f sans avoir besoin de la matrice representante de f.

    vous pouvez traiter l'exemple suivant:
    E espace vectoriel sur le corps des réels R des fonctions numeriques continues sur R+.
    on note T: E → E l'endomorphisme defini par:
    qlq soit f dans E; T(f)=F ou F(x)=1/x ∫(0,x) f(t) dt si x>0 et F(0)=0
    (ou ∫(0,x) designe l'integrale dont les bornes sont 0 et x)

    question: determiner les valeurs et vecteurs propres de T.
    merci de votre aide a bientot

    -----

  2. Publicité
  3. #2
    homotopie

    Re : valeurs et vecteurs propres d'un endomorphisme.

    Bonsoir,
    on peut montrer que F est dérivable sur R+* et si f est un vecteur propre de valeur propre k non nulle (F=T(f)=kf d'où...) alors elle est solution sur R+* de l'équation différentielle y'=((1-k)/k).y/x qui est aisée de résoudre sur R+*. Il reste à regarder la possibilité de prolonger ou non en zéro.
    Le cas k=0 se traite à part mais ce cas est facile.

  4. #3
    rasengan

    Re : valeurs et vecteurs propres d'un endomorphisme.

    si je comprends bien alors on trouvera f (le vecteur propre) en fonction de k(la valeur propre) non?
    si oui alors avec ça on trouve une relation entre f et k,mais ce qui est demandé c'est de determiner les valeurs propres et les vecteurs propres associés, comment le faire avec un raisonnement facile à comprendre,merci beaucoup.
    à bientot

  5. #4
    homotopie

    Re : valeurs et vecteurs propres d'un endomorphisme.

    Citation Envoyé par rasengan Voir le message
    si je comprends bien alors on trouvera f (le vecteur propre) en fonction de k(la valeur propre) non?
    si oui alors avec ça on trouve une relation entre f et k,mais ce qui est demandé c'est de determiner les valeurs propres et les vecteurs propres associés, comment le faire avec un raisonnement facile à comprendre,merci beaucoup.
    à bientot
    Oui et non.
    A partir d'une valeur k, on résoud T(f)=kf. S'il y a des solutions non nulles à cette équation alors k est valeur propre sinon non (cette relation entre k et f n'xistes pas toujours, l'existence de cette relation est l'unique condition pour que k soit valeur propre). Par cette résolution, tu sais donc quels réels sont valeurs propres (il y en a tout un intervalle). Maintenant, pour une valeur propre tu sauras aussi quels sont les vecteurs propres associés : ce sont les solutions de l'équation T(f)=kf que tu viens de résoudre.

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    rasengan

    Re : valeurs et vecteurs propres d'un endomorphisme.

    Citation Envoyé par homotopie Voir le message
    Oui et non.
    A partir d'une valeur k, on résoud T(f)=kf. S'il y a des solutions non nulles à cette équation alors k est valeur propre sinon non (cette relation entre k et f n'xistes pas toujours, l'existence de cette relation est l'unique condition pour que k soit valeur propre). Par cette résolution, tu sais donc quels réels sont valeurs propres (il y en a tout un intervalle). Maintenant, pour une valeur propre tu sauras aussi quels sont les vecteurs propres associés : ce sont les solutions de l'équation T(f)=kf que tu viens de résoudre.
    Tu viens d'écrire qu'on doit d'abord trouver l'intervalle des valeurs de k tel que l'équation "T(f)=kf" admet des solutions non nulles,mais comment le faire? plus précisément: quand est ce que cette équation admet des solutions non nulles?

  8. #6
    homotopie

    Re : valeurs et vecteurs propres d'un endomorphisme.

    Citation Envoyé par rasengan Voir le message
    Tu viens d'écrire qu'on doit d'abord trouver l'intervalle des valeurs de k tel que l'équation "T(f)=kf" admet des solutions non nulles,mais comment le faire? plus précisément: quand est ce que cette équation admet des solutions non nulles?
    Non, on ne cherche pas d'abord l'intervalle, celui-ci est trouvé en résolvant T(f)=kf. Il faut que tu abandonnes l'idée de la généralisation de la méthode :
    Citation Envoyé par rasengan Voir le message
    salut.pour determiner les valeurs et vecteurs propres d'une matrice M on doit calculer le polynome caracteristique de M et ensuite determiner les sous-espaces propres...ça je le sais.
    NON, ce n'est pas la seule méthode, ce n’est même pas la meilleure (elle n’est la meilleure sur les exercices que tu as résolus jusqu’à présent parce que ceux-ci ont été particulièrement bien choisis. En dimension un polynôme caractéristique a d’une manière générale des racines dont l'expression est du type qui est l'expression générale des racines d'un polynôme de degré 3 (en degré 4 c'est encore plus indigeste, et en dimension 3, s'il y a trois racines réelles, à l'intérieur des racines cubiques ce sont des complexes pures), en degré 5 et 6, on sait résoudre mais dans le cas général ce n'est pas avec des radicaux, en degré 7 et plus les recherches sont en cours.
    Comment peut-on faire alors pour déterminer les valeurs propres et les vecteurs propres ? prenons un exemple :

    On pose M(v)=kv
    v : (x,y,z) dans la base canonique, et en oubliant x,y,z on effectue des pivots de Gauss :

    L'1=L3, L'2=L2, L'3=L1

    L'1=L1, L'2=L2-L1, L'3=L3-(1-k)L1

    Eliminons le cas k=-1, L2->z=0 car dans ce cas -5+k on nul, L3-> y=0 car dans ce cas 3k-2 est non nul et L1->x=0 donc k=-1 n'est pas valeur propre
    Si k distinct de -1
    L'1=L1, L'2=L2, L'3=(k+1)L3+(3k-2)L2

    Un vecteur propre vérifie L1 et L2
    donc est de la forme (k²-11k+6, k-5, k+1)
    et n'est vecteur propre que si L3 est respecté (or k+1 est non nul) donc si et seulement si
    Ceci détermine les valeurs propres et les vecteurs propres implicitement mais beaucoup plus manipulable algébriquement (il n'y a même pas photo de ce point de vue) que déterminer les vecteurs propres par le calcul explicite des racines de ce polynôme (elles ont des expressions a priori "infames") et numériquement de même qualité car les bécanes ne font guère d'erreur plus grande sur la résolution d'un polynôme de degré n que d'extraire des racines n_èmes. Même dans le cas où les racines sont "sympathiques" (dans ce cas le calcul exact des vecteurs est intéressant) la méthode que je viens te donner a tendance à être plus rapide dès que n>=3 car la recherche de vecteurs propres se fait en une seule fois (certes avec un paramètre ce qui ralentit) au lieu de 3.

    Ainsi la méthode générale de recherche de valeurs propres et des vecteurs propres associés est :
    on a une transformation linéaire T:E->E, une valeur propre est un scalaire tel que il existe au moins une solution non nulle à l'équation T(y)=ky (y est souvent noté x mais si E est un ev de fonctions il sera plutôt noté f).
    n’est pas : on recherche d’abord quelles sont les valeurs propres puis à partir de celles-ci on recherche quelles sont les vecteurs propres qui leur sont associés.
    En fait, par la résolution de l’équation générale T(f)=kf on recherche les vecteurs propres (de valeur propre k), les valeurs propres sont les valeurs pour lesquels il existe des vecteurs propres (non nuls). (Dans cette méthode, la recherche des vecteurs propres et des valeurs propres est pour l'essentiel simultanée)


    Un exemple plus proche de ton problème :
    E={fonctions f : R->R telle que f est indéfiniment dérivable et telle que ii) pour tout entier n ( désignant la dérivée n-ième)
    On vérifie facilement que E est un R-ev.
    On considère T : E->E défini par T(f)=f'
    On vérifie facilement que T est un endomorphisme de E.
    On cherche les valeurs propres et les vecteurs propres qui leurs sont associés.
    Soit k une valeur, k est valeur propre s'il existe au moins un élément non nul de E tel que T(f)=f'=kf.
    Résoudre directement dans E est difficile (du fait qu'il y a deux conditions pour être dans E). On découple donc la difficulté.
    Cet élément f de E est entre autre une fonction dérivable de R dans R est solution de l'équation f'=kf, ce qui implique par une récurrence triviale que f est infiniment dérivable. Les solutions de l'équation sont pour ce type de fonctions sont de la forme avec a réel.
    A quelle(s) condition(s) sur k ces fonctions fk sont-elles dans E ?
    Il faut notamment que , ce qui est vérifié si k>0, ou si a =0.
    Les valeurs k<=0 il n'y a donc pas d'autres vecteurs "propres" dans E que la fonction nulle (a=0), ces valeurs ne sont donc pas valeur propre de T.
    Pour ces valeurs l'étude est finie, maintenant finissons l'étude pour les autres (>0).
    Pour une valeur k>0, les fonctions candidates sont , ces fonctions sont indéfiniment dérivables (résultat censé être connu très rapidement dans les études post-bac donc n'est plus à justifier) et on vérifie aisément que tend vers 0 quand x tenhd vers -infini donc ces fonctions sont dans E.
    Les valeurs k>0 ont donc des vecteurs propres non nuls dans E donc sont valeurs propres de T, l'espace propre associé à k est <>.
    L'ensemble des valeurs propres de T est donc R+*. L'espace propre associé à une valeur propre k (donc>0) est la droite vectorielle <>.

  9. Publicité
  10. #7
    rasengan

    Re : valeurs et vecteurs propres d'un endomorphisme.

    Merci beaucoup homotopie! je vais essayer d'appliquer la méthode que tu m'as proposer après avoir y bien compris.
    à bientot
    "Les méthodes sont les habitudes de l'esprit et les économies de la mémoire"

  11. #8
    rasengan

    Re : valeurs et vecteurs propres d'un endomorphisme.

    En appliquant ta méthode générale sur mon éxemple j'ai trouvé quelque chose comme ça:
    les valeurs propres son les réels non nuls (k∈R- {0}).
    et l'espace propre associé à un tel k est <x.e(1/k)>.
    (c'est faut!! )
    "Les méthodes sont les habitudes de l'esprit et les économies de la mémoire"

  12. #9
    homotopie

    Re : valeurs et vecteurs propres d'un endomorphisme.

    Oui c'est faux.
    Reprenons l'équation sur R+*, on doit avoir

    Comme on s'est placé sur un intervalle où x est non nul cette équation équivaut à :

    Ce qui implique en déivant :

    Pour k=0, on obtient f(x)=0 or comme f est prolongeable en 0 on a aussi f(0)=0. 0 n'est donc pas valeur propre.
    our k non nul, on a :

    En supposant y= f(x) partout non nul (soit on applique le théorème d'unicité pour justifier soit on réintroduit la solution trouvée en faisant varier la constante pour finir de justifier), on a
    y'/y=(1-k)/k (1/x)
    ln(lyl)=((1-k)/k).ln(x)+c
    y=+/-
    y est dans la droite vectorielle <x^((1-k)/k)>
    On vérifie aisémént que ce sont bien les seules solutions sur R+*.
    Reste à svoir si on peut les prolonger en 0, ceci revient à (1-k)/k>0
    On résoud cette inéquation, on aboutit les valeurs propres de f sont l'intervalle ]0;1[, l'espace propre associé est

  13. #10
    rasengan

    Re : valeurs et vecteurs propres d'un endomorphisme.

    malgrè que ma réponse n'est pas juste mais je peux t'assurer que j'ai compris le principe de la méthode, il me reste juste à m'entrainner sur des exemples et ça ira.
    merci homotopie pour les explications et pour ton temps que tu as consacré pour répondre a mes questions.
    à bientot
    "Les méthodes sont les habitudes de l'esprit et les économies de la mémoire"

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