valeurs propres d'une endomorphisme

[invite5b777dc4]

Bonjour,

Soit A l'endomorphisme de dont la matrice dans la base canonique est :

où a,b sont des réels.

Q1) le vecteur (1,1,1,1) est-il un vecteur propre de A? Si oui quelle est la valeur propre correspondante?

Je dis, sur base de ma definition de vecteur propre,
(1,1,1,1) vect propre SSI il existe un Lambda réel tq A(1,1,1,1) = Lambda . (1,1,1,1) . Je trouve que (1,1,1,1) vect propre de val propre correspondante 2(a+b).

Q2) le réel 0 est-il valeur propre de A? Si oui déterminer la dimension et une base du SEV propre correspondant (discuter en fonction des valeurs de a et b )

Je commence par justifier que 0 est valeur propre, sur base de ma définition de valeur propre : (je désigne par abus de notation A comme étant la matrice de l'endomorphisme )
Lambda est une vp de A SSI il existe un vecteur V non nul de tq A.V = Lambda.V
tq A.V - Lambda.V = 0 (vect nul )
tq A.V - Lambda.I.V = 0 (où I matrice identité)
tq A - Lambda.I = 0 car V non nul
tq Det ( A - Lambda.I ) = 0 ( le réel 0 )
(ce dérnier passage reste flou pour moi au niveau de la justification mais bon...)
Donc 0 vp SSI Det ( A ) = 0 . En vertu des propriétés du déterminant d'une matrice carrée , comme A possède 2 lignes identiques ( ligne1 et ligne2 par ex) le Det ( A ) est nul , et 0 est une valeur propre.Jusqu'ici tout va bien (non?).Pour déterminer le SEV propre correspondant de la vp 0 ,
on s'aperçoit en vertu de la déf de SEV propre caorrepondant d'une vp,
à savoir, si Lambda vp, V(Lambda) = Ker ( A - Lambda ), que
V(o) = Ker ( A ). Pour avoir une idée de la dimension de celui-ci, je m'appuie sur le théorème du rang, dim = dim Ker ( A ) + rang ( A ) , on a donc dim Ker ( A ) = 4 - rang ( A ) où rang ( A ) = 0 ou 1 en
fonction des valeurs de a,b (juste?)

on a donc deux cas :

A) dim Ker ( A ) = 4 ( cad a=b=0 ) , base de V(o) = base canonique de

B) dim Ker ( A ) = 3

B.1) a=±b≠0
B.1.1) a=b base de V(o) = {(-1,1,0,0);(-1,0,1,0);(-1,0,0,1)}
B.1.2) a= -b base de V(o) = {(1,1,0,0);(-1,0,1,0);(1,0,0,1)}
B.2) a≠±b
B.2.1) a=0 base de V(o) = {(1,0,0,0);(0,0,1,0);(0,-1,0,1)}
B.2.2) b=0 base de V(o) = {(-1,0,1,0);(0,1,0,0);(0,0,0,1)}
B.2.3) a≠0 base de V(o) = {(-b/a,1,0,0);(-1,0,1,0);(-b/a,0,0,1)}
B.2.3) b≠0 base de V(o) = {(1,-a/b,0,0);(0,-a/b,1,0);(0,-1,0,1)}

Avant de déterminer les vp manquantes, est-ce que quelqu'un peut me dire si ma discussion est bonne quant au choix de mes cas ?

Est-ce judicieux de procéder en se basant sur la dim Ker ( A ) ?

J'ai comme même un doute quant au rang ( A ) qui est sensé être le nombre de lignes linéairement indépendentes de la matrice de l'endomorphisme, car toutes les lignes sont identiques mais on a bien deux colonnes distinctes...

Merci d'avance pour tout éclaircissement...
-----

[invite5b777dc4]

personne pour me donner un ptit coup de pouce....??

[invitebb921944]

Bonjour

Donc 0 vp SSI Det ( A ) = 0 . En vertu des propriétés du déterminant d'une matrice carrée , comme A possède 2 lignes identiques ( ligne1 et ligne2 par ex) le Det ( A ) est nul , et 0 est une valeur propre.Jusqu'ici tout va bien (non?).Pour déterminer le SEV propre correspondant de la vp 0 ,

J'ai rien dit je lis la suite !

[FonKy-]

Qu'est-ce que c'est que cet exo lol je crois que je me tromperais pas en disant que tu es un sup qui fait un exo sur le programme de spé mais addressé à un sup. Car jamais en 2nde année on te prendra la main comme ca (c'est juste une remarque car ca m'a un peu choqué au début ^^)
D'ailleurs si je dit tout ca c'est que j'aime pas du tout leur question, du moins la maniere, car a la rigueur ca t'habitue plutot mal à la maniere d'attaquer létude des vp d'UN endomorphisme. (vraiment)

Sinon treve de bavardage:

tq A - Lambda.I = 0 car V non nul
tq Det ( A - Lambda.I ) = 0 ( le réel 0 )

En fait tu pose B=A - Lambda.I qui est donc la matrice nulle selon l'égalité.
Or le det de (0) est bien égal a 0, donc il en est de meme pour B. Je pense qu'il faut pas aller chercher plus loin. Je suis plutot gêné par ta série de "tq", ca n'a aucun sens mathématique..

Pour la seconde question, le probleme est que ta dimension peut etre 3 également pour les cas ou a=kb directement.
En fait tu dois pouvoir attaquer le probleme par la dimension mais tu n'es pas a l'abri de faire des erreurs je pense. A mon avis il est trop facile d'oublier des cas par la suite.

Moi j'aurai plutot fait une étude classique:
on cherche le polynome caractéristique:


en suite la on peut différencier les cas:
Si on a E(0) de dimension 3
alors <=>
Donc
en somme directe

Si on a E(0) de dimension 4
Alors

si alors on en revient a ton cas dim=4 car => b=0

si alors on a
d'ou
or ici je devais avoir dim = 4 , so petit soucis
Si toi ou qqun d'autre vois la brouille qu'il fasse signe ^^

FonKy-

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite5b777dc4]

hummm...je vois pas trop ... Mais j'ai essayé d'une autre façon qui ressemble beaucoup plus à ce que tu viens de faire :

si dim V(o) = 4 alors 0 de multiplicité 4 ( donc a=b=0 )
V(o) = R^4 base : base canonique

si dim V(o) = 3 alors 0 de multiplicité , comme la trace est invariante par changement de base, on a tr(A) = 2(a+b) = somme des valeurs propres
donc 2(a+b) = 0+0+0+ ?

je distingue deux cas,

a=-b différents de 0 (sinon on retombe dans le cas ou dim V(o) = 4 )
dans ce cas 0 est la seule vp de multiplicité 3 et y en a pas d'autres
V(o) = vect( (1,1,0,0);(-1,0,1,0);(1,0,1,0))

a différent de (-b) alors 2(a+b) est la vp manquante
avec V(2(a+b))=vect((1,1,1,1))
V(0)= aîee.....une discussions s'impose encore ici...

[invite5b777dc4]

En fait tu pose B=A - Lambda.I qui est donc la matrice nulle selon l'égalité.
Or le det de (0) est bien égal a 0, donc il en est de meme pour B. Je pense qu'il faut pas aller chercher plus loin. Je suis plutot gêné par ta série de "tq", ca n'a aucun sens mathématique..

FonKy-

Ok avec ces abus de notation je me suis même pas aperçu qu'il s'agissait de la matrice nulle...

[invite5b777dc4]

en suite la on peut différencier les cas:
Si on a E(0) de dimension 3
alors <=>
Donc
en somme directe
FonKy-

^^ tu divise par a qui peut être égal à 0 ?

[FonKy-]

si dim V(o) = 4 alors 0 de multiplicité 4 ( donc a=b=0 )
V(o) = R^4 base : base canonique

c ca qui me tracasse, je montre que c'est pas le seul cas, comment tu sais que a=b=0 ?

[FonKy-]

^^ tu divise par a qui peut être égal à 0 ?

erf c'est vrai, si a est nul, il faut alors diviser par b qui lui est par consequent forcément non nul.

edit: mais en fait ce n'est pas un probleme, car je divise par a alors que c'est pas forcément utile, le mieux c que tu prenne la base que j'obitens et tu multiplie tout par a
edit2: alors le probleme de a=0 à disparu ... heu j'en suis plus tres sur en fait :X

[invite5b777dc4]

c ca qui me tracasse, je montre que c'est pas le seul cas, comment tu sais que a=b=0 ?

les vecteurs V qui sont dans Ker ( A ) doivent satisfaire l'équation

A.V = 0 . je note donc V = (v1,v2,v3,v4) un vecteur de R^4.

donc A.V = 0 ssi a.v1 + a.v3 + b.v2 + bv4 = 0

si a et b sont nuls on a clairement que tout vecteur de r^4 satisfait
l'équation.

[invite5b777dc4]

hummm...je vois pas trop ... Mais j'ai essayé d'une autre façon qui ressemble beaucoup plus à ce que tu viens de faire :

si dim V(o) = 4 alors 0 de multiplicité 4 ( donc a=b=0 )
V(o) = R^4 base : base canonique

si dim V(o) = 3 alors 0 de multiplicité , comme la trace est invariante par changement de base, on a tr(A) = 2(a+b) = somme des valeurs propres
donc 2(a+b) = 0+0+0+ ?

je distingue deux cas,

a=-b différents de 0 (sinon on retombe dans le cas ou dim V(o) = 4 )
dans ce cas 0 est la seule vp de multiplicité 3 et y en a pas d'autres
V(o) = vect( (1,1,0,0);(-1,0,1,0);(1,0,1,0))

a différent de (-b) alors 2(a+b) est la vp manquante
avec V(2(a+b))=vect((1,1,1,1))
V(0)= aîee.....une discussions s'impose encore ici...

Est-ce que cela te semble clair?
Enfin il manque la dernière petite discussion sur V(o) avec a!=-b mais bon...

[FonKy-]

les vecteurs V qui sont dans Ker ( A ) doivent satisfaire l'équation

A.V = 0 . je note donc V = (v1,v2,v3,v4) un vecteur de R^4.

donc A.V = 0 ssi a.v1 + a.v3 + b.v2 + bv4 = 0

si a et b sont nuls on a clairement que tout vecteur de r^4 satisfait
l'équation.

Non désolé ca ne suffit pas à justifier ta proposition. Tu dis bien " si a et b sont nuls on a clairement..." , ce n'est pas une equivalence.

[FonKy-]

Est-ce que cela te semble clair?
Enfin il manque la dernière petite discussion sur V(o) avec a!=-b mais bon...

oui , ya juste un petit truc qui me gene, il parle de la trace, c'est tres bien, mais je sais pas pourquoi il veut pas en deduire directement que 2(a+b) est une v.p et alors on en revient a ma démo. ( au lieu de faire 2(a+b)=0+0+0+? ...).