méthode pour calculer les valeurs propres d'une matrice

[invite5ddd006f]

bonjour à tous,
voila j'ai déja examiné des sujets un peu similaires mais je n'ai pu trouver la réponse a ma question...
Je ne comprend pas comment trouver P(X) d'une matrice (3*3) en la simplifiant a l'aide d'opération sur les lignes ou colonnes ? quel est le but de ces opérations ? quelles en sont les règles ?

voici un exemple pour illustrer mon propos

| a-x b b |
| b a-x b |
| b b a-x |

=

c1-c2 c2-c3 c3

a-x-b 0 b ici je pense qu'on essaye d'obenir des 0 sur
-(a-bx-b) a-x-b b les lignes pour simplifier le calcul du dét.
0 -(a-x-b) a-b

=

(a-x-b)² * 1 0 b
-1 1 b
0 -1 a-x
mais quelle est la règle a appliquer pour n'importe quelle matrice car j'ai limpression qu'a chaque fois on effectue des opération différentes

AUTRE EXEMPLE


M= 1-x 2 -2
2 1-x -2
2 2 -3-x

=
c1+c2+c3 c2+c3 c3

1-x 0 -2
1-x -1-x -2
1-x -1-x -3-x

=
1-x 0 -2 L1
0 1-x 0 L2-L1
0 0 -1-*x L3-L2


voila si quelqu'un connait une méthode infaillible je suis preneur ... une explication ....

merci d'avance !!!
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[invitec053041c]

Bonjour à toi.

Il n'y a malheureusement pas de méthode infaillible lorsqu'on effectue des opérations sur les lignes et les colonnes.
Le tout, c'est d'avoir l'oeil, et de repérer l'opération qui va bien simplifier ton déterminant.
Cela dit, ne passe pas 10min sur un det à chercher les opérations à faire sur les lignes et/ou les colonnes. Si en 2min tu n'as rien trouvé de concluant, il vaut mieux passer au calcul effectif du déterminant, sauf si la matrice est énorme.
Bref, c'est surtout au feeling.

Cordialement.

[invite847a6aeb]

Une fois que tu as fais tes opérations sur tes lignes ou tes colonnes, pense à factoriser ton déterminant.

Par exemple dans ton premier cas, on voit tout de suite que "toutes les lignes sont égales". Donc si tu remplace la premier colonne par la somme des trois colonnes, tu obtiendra :

|a-x b   b  |   |2b+a-x b   b  |
|b   a-x b  | = |2b+a-x a-x b  |
|b   b   a-x|   |2b+a-x b   a-x|

Et là tu peux sortir le 2b+a-x pour obtenir :

|2b+a-x b   b  |            |1 b   b   |
|2b+a-x a-x b  | = (2b+a-x)*|1 a-x b   |
|2b+a-x b   a-x|            |1 b   a-x |

Et finalement tu poura facilement faire apparaitre des 0 dans la premiere colonne en otant la premiere ligne aux deux suivantes par exemple.

            |1 b     b     |
= (2b+a-x)* |0 a-b-x 0     | = (2b+a-x)*(a-b-x)²
            |0 0     a-b-x |

[invite847a6aeb]

Avant de te lancer dans le calcul de ton determinant, pense à chercher (rapidement des vecteurs propres évidents). Si par chance tu en trouve trois linéairement indépendants, tu n'auras même pas à calculer le determinant.
Par contre si tu n'en trouve qu'une, elle te permettra de simplifier les calculs.

Voilà, j'espère avoir été clair, j'ai un peux de mal à m'expliquer sur le PC :s

Cordialement

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite4ef352d8]

Salut !

ta matrices à des symétrie intéressantes, il est donc peut probable que le pivot de gausse soit interessant. (le pivot de gauss brise toute les symétrie de la matrice) donc je pense pas que ca soit une bonne méthode.


bon déja tu peut remarquer que calculer P(x) ici revient à calculer le déterminant (il suffira de remaplacer a par a-x à la fin...).

bon et ici pour calculer le déterminant la formule avec le produit des elements sur les oblique (pour les déterminant 3*3... j'ai un trou de mémoir la je me rapelle plus de son nom :S ), donne de bon résultat, on a directement D = a^3+2b^3-3ab^2

donc le polynome caractéristique est donc sauf erreur (a-x)^3+2*b^3-3(a-x)b²

[invite5ddd006f]

merci pour vos reponses !
je me doutais bien qu'il n'y avait pas de methode infaillible et qu'il s'agissait d'avoir le coup d'oeil !

cependant quand la simplification par opérations sur les lignes et colonnes semble difficile et que l'on utilise le simple calcul du déterminant, comment réussir a le simplifier et obtenir les valeurs propres ? bien souvent je me retrouve avec un polynome du 3e degré et de grosses expressions ... je ne vois pas comment trouver alors simplement ces valeurs !

[invite847a6aeb]

Si tu n'as rien trouvé pour simplifier avant d'en arrivé là, la seule chose qu'il te reste à faire c'est de trouver les racines de ton polynôme caractéristique. Mais comme tu n'as pas de méthode siple pour trouver les racines d'un polynôme du seconde degrée, tu dois essayer des valeurs simples X0=0,1,-1,2... jusqu'à ce que tu en trouve une qui aille. Ensuite factorise ton polynôme par ( X - X0 ), il te restera un polynôme du second degrée que tu devrais pouvoir resoudre sans probleme.

[invitec7c5be8b]

pour trouver les valeurs propres tu peus resoudre l'équation: PA(t)=0

PA(t) est le polynome caracteristique de la matrice.
PA(t)= det(A-ß In)=0

[invite07740c67]

bonjour,
justement je cherche les regles de simplifications, un cours?