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matrice d'une projection



  1. #1
    369

    matrice d'une projection


    ------

    bonjour
    pouvez vous m'aider pour l'exo suivant?

    Dans R^3 soient b1=(1,1,0) b2=(2,0,0) b3=(2,-1,1/2)
    donner la matrice dans la base naturelle de la projection de Kb1 et parrallèlement à vect{b2,b3}

    J'ai commencé comme ca: soit u dans R^3
    u=a1b1+a2b2+a3b3
    si on note p la projection
    p(u)=a1b1 a1 dans R

    mais après je vois pas comment faire car (a1,a2,a3) sont des inconnus


    merci de votre aide

    -----

  2. Publicité
  3. #2
    thepasboss

    Re : matrice d'une projection

    Calcul l'image de chaque vecteur de la base par p. Comment en déduire la matrice ? ^^

  4. #3
    369

    Re : matrice d'une projection

    merci de ton aide
    mais je ne vois pas comment calculer l'image de chaque vecteur puisqu'il n'y a pas de relation (définition d'une application linéaire) pour le projecteur p

  5. #4
    thepasboss

    Re : matrice d'une projection

    Justement, exprime les vecteur de la base dans la nouvelle base b1,b2,b3.

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    369

    Re : matrice d'une projection

    je trouve comme matrice
    0 1 2
    0 0 0
    0 0 0

  8. #6
    thepasboss

    Re : matrice d'une projection

    Tu t'es clairement trompé, cette matrice est nilpotente, or une projection n'est pas nilpotente.

  9. Publicité
  10. #7
    369

    Re : matrice d'une projection

    pourtant j'ai fait comme tu m'as dis
    j'ai exprimer e1,e2,e3 en fonction de b1,b2,b3

  11. #8
    thepasboss

    Re : matrice d'une projection

    Faisons plus simple dans ce cas :

    La matrice de passage de la base b1,b2,b3 dans la base usuelle est donnée simplement par :

    1 2 2
    1 0 -1
    0 0 0,5

    de là...

  12. #9
    369

    Re : matrice d'une projection

    moi j'avais
    e1=(1/2)b2
    e2=b1-(1/2)b2
    e3=2b1-3b2+2b3

    après j'ai appliqué p
    p(e1)=(1/2)p(b2)=0 car p(b2)=0
    p(e2)=p(b1)-(1/2)p(b2)=p(b1)
    p(e3)=2p(b1)-3p(b2)+2p(b3)=2p(b1)

  13. #10
    sylvainc2

    Re : matrice d'une projection

    Pour avoir la matrice de p dans la base (e1,e2,e3) (je suppose que c'est ca la base "naturelle") tu dois écrire p(e1), p(e2), p(e2) en fonction de e1,e2 et e3, pas en fonction de b1,b2 et b3.

    On a p(b1)=b1, p(b2)=0 et p(b3)=0 selon la définition de p,
    et b1=e1+e2, b2=2e1, b3=2e1-e2+1/2e3.

    Alors p(b2)=p(2e1)=2p(e1)=0 -> p(e1)=0 c'est la 1ère colonne.
    p(b1)=p(e1+e2)=p(e1)+p(e2)=e1+ e2 -> p(e2)=e1+e2 la 2e colonne est (1,1,0).
    Fais de même avec p(b3) pour trouver p(e3).

  14. #11
    369

    Re : matrice d'une projection

    merci j'ai compris
    j'ai comme matrice
    0 1 2
    0 1 2
    0 0 0

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