bonjour
pouvez vous m'aider pour l'exo suivant?
Dans R^3 soient b1=(1,1,0) b2=(2,0,0) b3=(2,-1,1/2)
donner la matrice dans la base naturelle de la projection de Kb1 et parrallèlement à vect{b2,b3}
J'ai commencé comme ca: soit u dans R^3
u=a1b1+a2b2+a3b3
si on note p la projection
p(u)=a1b1 a1 dans R
mais après je vois pas comment faire car (a1,a2,a3) sont des inconnus
merci de votre aide
Calcul l'image de chaque vecteur de la base par p. Comment en déduire la matrice ? ^^
merci de ton aide
mais je ne vois pas comment calculer l'image de chaque vecteur puisqu'il n'y a pas de relation (définition d'une application linéaire) pour le projecteur p
Justement, exprime les vecteur de la base dans la nouvelle base b1,b2,b3.
je trouve comme matrice
0 1 2
0 0 0
0 0 0
Tu t'es clairement trompé, cette matrice est nilpotente, or une projection n'est pas nilpotente.
pourtant j'ai fait comme tu m'as dis
j'ai exprimer e1,e2,e3 en fonction de b1,b2,b3
Faisons plus simple dans ce cas :
La matrice de passage de la base b1,b2,b3 dans la base usuelle est donnée simplement par :
1 2 2
1 0 -1
0 0 0,5
de là...
moi j'avais
e1=(1/2)b2
e2=b1-(1/2)b2
e3=2b1-3b2+2b3
après j'ai appliqué p
p(e1)=(1/2)p(b2)=0 car p(b2)=0
p(e2)=p(b1)-(1/2)p(b2)=p(b1)
p(e3)=2p(b1)-3p(b2)+2p(b3)=2p(b1)
Pour avoir la matrice de p dans la base (e1,e2,e3) (je suppose que c'est ca la base "naturelle") tu dois écrire p(e1), p(e2), p(e2) en fonction de e1,e2 et e3, pas en fonction de b1,b2 et b3.
On a p(b1)=b1, p(b2)=0 et p(b3)=0 selon la définition de p,
et b1=e1+e2, b2=2e1, b3=2e1-e2+1/2e3.
Alors p(b2)=p(2e1)=2p(e1)=0 -> p(e1)=0 c'est la 1ère colonne.
p(b1)=p(e1+e2)=p(e1)+p(e2)=e1+ e2 -> p(e2)=e1+e2 la 2e colonne est (1,1,0).
Fais de même avec p(b3) pour trouver p(e3).
merci j'ai compris
j'ai comme matrice
0 1 2
0 1 2
0 0 0
