projection orthogonale d'une matrice
bonjour, merci à ceux qui m'aideront
On considère la droite vectorielle D, du R-ev de R^3, engendré par (2,2,-1),R^3 muni du PS usuel
u=(2,2,-1),v=(1,0,2) et w=(4,-5,-2) une base ortho de R^3 et (u,v) une base de D ortho
je dois calculer la matrice de la projection orthogonale p sur D et celle de q sur D ortho dans la base canonique , ici je ne comprend pas la méthode et je ne vois pas ce qi fauut faire
La projection orthogonale d'un vecteur v sur un vecteur unitaire n se calcule avec le produit scalaire:
v' = <v,n>n
Dans une base orthonormée de R^3, où v = (x,y,z) et n = (a,b,c), le produit scalaire s'écrit:
<v,n> = ax + by + cz
et donc:
v'= <v,n>n = ( a^2x+aby+acz, abx+b^2y+bcz, acx+bcy+c^2z)
On remarque que sous forme de matrice ca peut s'écrire v' = Av, où A est:
[ a^2 ab ac ]
[ ab b^2 bc ]
[ ac bc c^2]
Et bien c'est ca la matrice de la proj ortho sur le vecteur unitaire n=(a,b,c) dans une base orthonormée.
Maintenant, pour la proj ortho sur le plan orthogonal à n, on remarque qu'on peut écrire v = v' + v'', où v' est la composante de v dans l'orthogonal au plan, et v'' la composante dans le plan. Donc v'' = v - v'.
On connait deja v'=Av, donc: v'' = v - Av. La matrice de cette transformation s'écrit donc B = Identite - A. Voila.
On peut voir que A et B respectent les propriétés d'une projection orthogonale: det(A)=0, A^2=A, An=n, det(B)=0, B^2=B, Bn=0.
Salut,
Une « autre » méthode : calculer la matrice dedans la base
