projection orthogonale

[mattveil]

Bonjour à tous!

J'ai un démo d'une proposition que je ne comprends pas, voici la proposition :

Soit E un espace préhilbertien complexe, soit p une projection de E
p est une projection orthogonale ssi pour tout x appartenant à E

Je ne comprends pas la démonstration que j'ai trouvé dans le sens <=
La voici :
Par contraposition :
Soit p un projecteur de E tel que pour tout x de E
On suppose que p n'est pas un projecteur orthogonal alors Ker(p) n'est pas orthogonal à Im(p). Donc il existe (y,z) appartenant à Im(p)*Ker(p) tels que (y|z) , x=z+Ky où K est un complexe.




Si appartient aux réels


Il exite Ko un réel tel que
Alors
Contradiction avec l'hypothèse...

Le cas se fait de la même façon.

Hé bien justement, je ne comprends plus la démo à partir de la ligne Si car je ne comprends pas pourquoi K appartient aux réels???
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[invite57a1e779]

Hé bien justement, je ne comprends plus la démo à partir de la ligne Si car je ne comprends pas pourquoi K appartient aux réels???

En fait tout le début est un calcul valable pour tout K complexe.
Ensuite, si, , on se restreint à ne considérer que K réel.
Dans le cas, , donc [TEX]Im(z|y)\neq 0[/TEX, on se restreindrait à ne considérer que K imaginaire pur.

[mattveil]

Ah oui je n'avais pas fait attention à ça!

Je pensais que puisque y et z étant définit par existence, le x aussi l'était mais pas du tout...

Merci à toi