Développement en série entière

[invite97a92052]

Hello,


Je faisais des exercices sur les séries, et voilà que je tombe là dessus :
Développer en série entière au voisinage de 0.
J'ai essayé diverses choses, mais je n'en vois pas le bout.
Sous certaines conditions, j'ai pu décomposer Arctan(x+a) en Arctan(a) + Arctan(quelque chose qui tend vers 0 en 0) (je n'ai plus le calcul sous la main), mais ça ne me donnait rien qui vaille la peine de continuer. En dérivant, je bute forcément sur le même problème.

Avant de chercher la formule générale "au feeling" (et je suppose que ce n'est pas ça le but de l'exercice), je me demaidais si vous n'auriez pas une petite idée pour m'éclairer ?

Merci
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[invite97a92052]

Ah, un truc que je n'ai pas essayé, c'est de voir si une quelconque formule permet d'obtenir directement la dérivée n-ième de l'arctangente... je vais voir.

[invite4ef352d8]

plusieur piste pour démarer :


1)arctan(x+a) =(arctan(x)+arctan(a))/(1-arctan(x)*arctan(x))

tu dévelope arctan(x) en serie entiere, et tu croise les doigt pour que le 1/(1-arctan(x)*arctan(x)) ce simplifie quand on compose les dévelopement ^^.


2) calculer la dérivé de ta fonction : c'est une fraction rationel, tu sais donc la dévelopez en serie entière; il ne te restera plus qua intégrer (en oubliant pas la constant d'integration !! )


3) apres tous, on connait (un peu...) la dérivé n-iemme de arctan, on peut donc utiliser Taylor (laplace ou largange) pour obtenir le dévelopement...


NB : meme si à priori les trois methodes fonctionne... je pense que c'est la deuxieme qui a le plus de chance d'aboutir... mais dans tous les cas ca va etre tres calculatoire et il est tres peu probable que le résultat soit simple... mais bon j'ai deja vu déveloper des chose bien plus compliqué que ca... (mais le résultat est horrible et inexploitable e géneral...)

[invite97a92052]

plusieur piste pour démarer :


1)arctan(x+a) =(arctan(x)+arctan(a))/(1-arctan(x)*arctan(x))

tu dévelope arctan(x) en serie entiere, et tu croise les doigt pour que le 1/(1-arctan(x)*arctan(x)) ce simplifie quand on compose les dévelopement ^^.


2) calculer la dérivé de ta fonction : c'est une fraction rationel, tu sais donc la dévelopez en serie entière; il ne te restera plus qua intégrer (en oubliant pas la constant d'integration !! )


3) apres tous, on connait (un peu...) la dérivé n-iemme de arctan, on peut donc utiliser Taylor (laplace ou largange) pour obtenir le dévelopement...


NB : meme si à priori les trois methodes fonctionne... je pense que c'est la deuxieme qui a le plus de chance d'aboutir... mais dans tous les cas ca va etre tres calculatoire et il est tres peu probable que le résultat soit simple... mais bon j'ai deja vu déveloper des chose bien plus compliqué que ca... (mais le résultat est horrible et inexploitable e géneral...)

Merci de me répondre

Pour le 1), tu es sur de ta formule ? Tu ne confonds pas avec la formule de tan(x+a) ?
Va pour la fraction rationelle alors (ça va être moche, c'est peut-être pour ça que j'y avais pas pensé ).


PS : en fait, cet exercice est dans un lot d'exercices ou il fallait trouver de grosses astuces pour s'en tirer, donc ça m'étonne que l'on soit "obligé" de faire comme ça.

Merci beaucoup en tous cas !

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite35452583]

Va pour la fraction rationelle alors (ça va être moche, c'est peut-être pour ça que j'y avais pas pensé ).

Bonjour,
c'est la bonne méthode mais je ne savais pas que le développement en série d'une fraction aussi sympathique que soit moche.

[invite4ef352d8]

oula !!!


oubliez la 1, j'etais pas bien reveillez quand j'ai ecrit sa surement



ba la fraction en question sa sera pas 1/(1+x²)

mais 1/(1+(x+a)²)... donc ca risque de finir en decomposition en élement simple et compagnie a mon avi ^^

[invite97a92052]

Oui, c'est décomposition en éléments simples avec des complexes (discriminant = -4), c'est pas que ça ce soit dur, mais c'est pas très intéressant... ! Et en tout cas ça n'a rien de joli...

[invite35452583]

ba la fraction en question sa sera pas 1/(1+x²)

mais 1/(1+(x+a)²)... donc ca risque de finir en decomposition en élement simple et compagnie a mon avi ^^

pas bien réveillé moi non plus.

[invite40374348]

Bonjour,

Je souhaiterai de l'aide pour cet exo :

Montrer que , pour tout x dans [-1,1] :

Arctang(x) = ∑ (-1)^n * [(x^2n+1)/(2n+1)]

PS: ∑(de 0 à l'infini)

Merci d'avance