Bonsoir, j'ai des difficultés pour trouver le Rayon de Convergence de certaines séries qu'on me donne. On ne m'a appris que les techniques de D'alembert et Cauchy mais je ne peux pas les appliquer tt le temps.
Ex: somme des z^(n!)
somme des (sin)^n * z^n
j'ai besoin de techniques s'il y en a.
Salut,
pour la première,, et il y a un problème en 1...
Je n'ai pas compris la seconde.
Cordialement.
pardon c'etait (sin n)^n z^n
Ok.
J'en profite pour préciser que j'ai oublié les modules !
EDIT : pour la seconde, le même raisonnement conduit à un rayon de convergence supérieur ou égal à 1.
RE-EDIT : et à nouveau, il y a un pb en 1...
la premiere je ne vois pas le probleme en 1 : la serie diverge en z=1, donc le rayon de convergence vaut precisement 1 !
la deuxieme en revanche sa m'a l'air plus delicat... (on a juste montré que R>=1 en comparant avec les sommes Z^n, il faut ensuite prouver que R=1)
il faudrait peut-etre commencer par voir si la suite sin(n)^n tend vers 0 ou non... si on peut montrer qu'elle diverge le probleme est reglé ^^
Salut,
C'est bien parce que la série diverge en z=1 (c'est le « problème » dont je voulais parler) que l'on peut conclure que R=1.la premiere je ne vois pas le probleme en 1 : la serie diverge en z=1, donc le rayon de convergence vaut precisement 1 !
Cordialement.
on a pas la meme definition du "probleme" alors !
en revanche je trouve qu'il y a vraiment un probleme pour la deuxieme : je vois pas comment on peut montré simplement que la serie des sin(n)^n diverge... (est-ce qu'elle diverge d'ailleur ? )
Je reconnais que je n'ai pas été clair : un problème = une singularité, enfin un endroit où ça se passe mal quoi !Envoyé par Ksilver
on a pas la meme definition du "probleme" alors !
Je n'ai pas dit que c'était simple... Je pense que la série diverge en z=1 car la suite
Cordialement.
Salut,
Vous savez qu'en fait, cela importe peu. Je ne sais pas non plus comment démontrer proprement que la série de terme sin(n)^n diverge, mais, c'est assez clair pour la série (sin(n) (1+a))^n ,avec a >0, puisque ça ne tend même pas vers zéro !
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rvz
Ah ben oui : encore une victoire de rvz !c'est assez clair pour la série (sin(n) (1+a))^n ,avec a >0, puisque ça ne tend même pas vers zéro !
"(sin(n) (1+a))^n ,avec a >0, puisque ça ne tend même pas vers zéro ! "
je ne vois pas en quoi c'est si evident : c'est vraisemblable, mais sa ma l'air tres delicat a prouver non ? (ou alors je passe a coté d'une evidence... )
NB : au passage je lance la question du comportement assymptotique de la suite sin(n)^n !
Ba, si, il suffit de voir que sin(n) est une suite dense dans (-1,1). Pour le démontrer, il suffit de remarquer que le sous groupe de R engendré par 1 et Pi est dense dans R.
Notamment, on peut trouver une suite d'entiers a_n proches de pi/2 modulo 2pi...
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rvz
ah oui je vois !
Cela dit, pour le comportement de sin(n)^n, la question est très intéressante, et j'y réfléchis en ce moment. Je ne vois pas trop comment m'y prendre. Ca me fait penser à des histoires d'approximation diophantienne de pi.
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rvz
ouai, si cette suite diverge effectivement, il faudrait essayer d'exhiber une suite d'entier qui "converge" suffisement rapidement vers Pi/2 modulo Pi,
peut-etre en utilisant les coeficient de la decomposition de Pi en fraction continu ?
Il me semble que cela pourrait marcher:
On prend
sin(x)~
donc
Le problème est qu'il faudrait montrer qu'il existe une infinité de réduites de Pi/2 qui possèdent un dénominateur impair. Une moins bonne approximation de Pi/2 pourrait suffir mais il faut qu'elle converge plus vite qu'en 1/q_n
