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Série entière



  1. #1
    Manolack

    Série entière


    ------

    Bonsoir, j'ai des difficultés pour trouver le Rayon de Convergence de certaines séries qu'on me donne. On ne m'a appris que les techniques de D'alembert et Cauchy mais je ne peux pas les appliquer tt le temps.

    Ex: somme des z^(n!)
    somme des (sin)^n * z^n

    j'ai besoin de techniques s'il y en a.

    -----
    Un bonjour à tous ceux qui m'ont dit que les maths c'était pas pour moi :D

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  4. #2
    martini_bird

    Re : Serie entiere

    Salut,

    pour la première, , et il y a un problème en 1...

    Je n'ai pas compris la seconde.

    Cordialement.

  5. #3
    Manolack

    Re: Serie entiere

    pardon c'etait (sin n)^n z^n
    Un bonjour à tous ceux qui m'ont dit que les maths c'était pas pour moi :D

  6. #4
    martini_bird

    Re : Re: Serie entiere

    Ok.

    J'en profite pour préciser que j'ai oublié les modules !

    EDIT : pour la seconde, le même raisonnement conduit à un rayon de convergence supérieur ou égal à 1.

    RE-EDIT : et à nouveau, il y a un pb en 1...
    Dernière modification par martini_bird ; 27/11/2006 à 22h30.

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  8. #5
    Ksilver

    Re : Série entière

    la premiere je ne vois pas le probleme en 1 : la serie diverge en z=1, donc le rayon de convergence vaut precisement 1 !

    la deuxieme en revanche sa m'a l'air plus delicat... (on a juste montré que R>=1 en comparant avec les sommes Z^n, il faut ensuite prouver que R=1)

    il faudrait peut-etre commencer par voir si la suite sin(n)^n tend vers 0 ou non... si on peut montrer qu'elle diverge le probleme est reglé ^^

  9. #6
    martini_bird

    Re : Série entière

    Salut,

    la premiere je ne vois pas le probleme en 1 : la serie diverge en z=1, donc le rayon de convergence vaut precisement 1 !
    C'est bien parce que la série diverge en z=1 (c'est le « problème » dont je voulais parler) que l'on peut conclure que R=1.

    Cordialement.

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  11. #7
    Ksilver

    Re : Série entière

    on a pas la meme definition du "probleme" alors !



    en revanche je trouve qu'il y a vraiment un probleme pour la deuxieme : je vois pas comment on peut montré simplement que la serie des sin(n)^n diverge... (est-ce qu'elle diverge d'ailleur ? )

  12. #8
    martini_bird

    Re : Série entière

    Citation Envoyé par Ksilver Voir le message
    on a pas la meme definition du "probleme" alors !
    Je reconnais que je n'ai pas été clair : un problème = une singularité, enfin un endroit où ça se passe mal quoi !

    Citation Envoyé par Ksilver Voir le message
    en revanche je trouve qu'il y a vraiment un probleme pour la deuxieme : je vois pas comment on peut montré simplement que la serie des sin(n)^n diverge... (est-ce qu'elle diverge d'ailleur ? )
    Je n'ai pas dit que c'était simple... Je pense que la série diverge en z=1 car la suite est dense dans [-1, 1]. Mais c'est juste une intuition : je vais voir pour le faire proprement...

    Cordialement.

  13. #9
    rvz

    Re : Série entière

    Salut,

    Vous savez qu'en fait, cela importe peu. Je ne sais pas non plus comment démontrer proprement que la série de terme sin(n)^n diverge, mais, c'est assez clair pour la série (sin(n) (1+a))^n ,avec a >0, puisque ça ne tend même pas vers zéro !
    __
    rvz

  14. #10
    martini_bird

    Re : Série entière

    c'est assez clair pour la série (sin(n) (1+a))^n ,avec a >0, puisque ça ne tend même pas vers zéro !
    Ah ben oui : encore une victoire de rvz !

  15. #11
    Ksilver

    Re : Série entière

    "(sin(n) (1+a))^n ,avec a >0, puisque ça ne tend même pas vers zéro ! "


    je ne vois pas en quoi c'est si evident : c'est vraisemblable, mais sa ma l'air tres delicat a prouver non ? (ou alors je passe a coté d'une evidence... )



    NB : au passage je lance la question du comportement assymptotique de la suite sin(n)^n !

  16. #12
    rvz

    Re : Série entière

    Citation Envoyé par Ksilver Voir le message
    "(sin(n) (1+a))^n ,avec a >0, puisque ça ne tend même pas vers zéro ! "


    je ne vois pas en quoi c'est si evident : c'est vraisemblable, mais sa ma l'air tres delicat a prouver non ? (ou alors je passe a coté d'une evidence... )



    NB : au passage je lance la question du comportement assymptotique de la suite sin(n)^n !
    Ba, si, il suffit de voir que sin(n) est une suite dense dans (-1,1). Pour le démontrer, il suffit de remarquer que le sous groupe de R engendré par 1 et Pi est dense dans R.
    Notamment, on peut trouver une suite d'entiers a_n proches de pi/2 modulo 2pi...

    __
    rvz

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  18. #13
    Ksilver

    Re : Série entière

    ah oui je vois !

  19. #14
    rvz

    Re : Série entière

    Cela dit, pour le comportement de sin(n)^n, la question est très intéressante, et j'y réfléchis en ce moment. Je ne vois pas trop comment m'y prendre. Ca me fait penser à des histoires d'approximation diophantienne de pi.

    __
    rvz

  20. #15
    Ksilver

    Re : Série entière

    ouai, si cette suite diverge effectivement, il faudrait essayer d'exhiber une suite d'entier qui "converge" suffisement rapidement vers Pi/2 modulo Pi,

    peut-etre en utilisant les coeficient de la decomposition de Pi en fraction continu ?

  21. #16
    unepierre

    Re : Série entière

    Il me semble que cela pourrait marcher:

    On prend les réduites de . On sait que:


    sin(x)~

    donc ~ ~ qui tend vers 1

    Le problème est qu'il faudrait montrer qu'il existe une infinité de réduites de Pi/2 qui possèdent un dénominateur impair. Une moins bonne approximation de Pi/2 pourrait suffir mais il faut qu'elle converge plus vite qu'en 1/q_n

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