polynome de bernstein

[invite4df82364]

Bonjour à tous, j'ai un dm à faire et je bloc sur une question. La voici : soit f une app continue de [0,1] vers R et quel que soit n appartenant à N f_n la fonction polynôme définie par : S_k=0ⁿ(C_n^kf(k/n)x^k(1-x)^n-k) relation 1 (S étant le symbole somme)
soit g la fonction déf sur [0,1] par quel que soit x appartenant à [0,1] g(x)=xf(x)
f_n et g_n étant les fonctions associés à f et g par la relation 1, il faut vérifier que quel que soit x appartenant à [0,1], quel que soit n appartenant à N* (x(1-x)/n)f_n'=g_n(x)-xf_n(x)

voila si qq un pouvait m'aider svp

merci d'avance
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[invitebb921944]

Bonjour,
quel est le problème ?
Commence par dériver en fonction de (la seule difficulté est de ne pas se tromper sur la dérivée du produit ), multiplie ton résultat par et utilise la linéarité de la somme et le fait que pour faire apparaitre .

[God's Breath]

On a :

avec

avec

avec

avec

Reste à vérifier (le calcul n'est pas très difficile) que .

[invite4df82364]

ok ça c'est bon j'ai montré l'égalité merci. Mais maintenant on me demande de déterminer f_n pour f(x)=x² et montrer que (f_n) converge simplement vers f sur [0,1] puis que
lim_n->+inf||fn-f||_inf,[0,1]=0
le problème c'est que j'ai réussi à déterminer f_n mais pour ça j'ai démontré et utilisé ce que l'on me demande de montrer qu'a la question d'aprés c'est à dire que quel que soit x appartenant à [0,1] S_k=0ⁿC_n^k((k/n)-x)²x^k(1-x)^n-k=x(1-x)/n
sinon j'ai aussi essayé en remplacant dans la relation 1 par (k/n)² et j'ai réussi à faire partir un des k/n ds le C_n^k mais il m'en reste tjs un !
comment puis je faire ?

[A voir en vidéo sur Futura]