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théorème de Bernstein



  1. #1
    invite986312212
    Invité

    théorème de Bernstein


    ------

    le théorème de Bernstein dit que si A et B sont deux ensembles et s'il existe une injection de A dans B et une autre injection de B dans A, alors il existe une bijection de A dans et sur B. Dans la démonstration, on construit une telle bijection (si je me souviens bien).

    Existe-t-il un analogue mais avec des surjections?

    -----

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  3. #2
    matthias

    Re : théorème de Bernstein

    Si on a une surjection f de A dans B, on peut construire facilement une injection g de B dans A :
    Pour x dans B, on choisit y dans f-1({x}) (non vide) et on pose g(x)=y.
    Donc si on a une surjection dans chaque sens on a aussi une injection dans chaque sens.
    Mais bon là on utilise l'axiome du choix, on peut peut-être faire sans.

  4. #3
    µµtt

    Re : théorème de Bernstein

    Salut,


    Oui il y a le même théorème avec de surjections mais, comme le dit matthias, cela nécessite l'Axiome du Choix !!
    Le théorème avec les injections, lui, se montre sans recours à l'AC.

  5. #4
    matthias

    Re : théorème de Bernstein

    L'axiome du choix est donc bien nécessaire ? Je n'étais vraiment pas sûr.

    D'ailleurs du coup je me pose certaines questions à propos des affirmations suivantes qui peuvent paraître naturelles :

    Etant donnés deux ensembles A et B,
    - il existe une injection de A dans B ou une injection de B dans A.
    - il existe une surjection de A dans B ou une surjection de B dans A.
    - s'il existe une injection de A dans B, alors il existe une surjection de B dans A.
    - s'il existe une surjection de A dans B, alors il existe une injection de B dans A.

    Je pense qu'elles sont toutes vraies avec l'axiome du choix, mais lesquelles nécessitent cet axiome ?

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    Ksilver

    Re : théorème de Bernstein

    Bonsoir, j'ai deux petit question :
    Le theoreme de Bernstein nous garanti qu'il y a une bijection entre [0,1] et ]0,1[, est-ce qu'il y a un exemple d'une telle bijection ?



    deuxieme question : (relativement inutil d'ailleur ...)

    Citation Envoyé par matthias
    Si on a une surjection f de A dans B, on peut construire facilement une injection g de B dans A :
    Pour x dans B, on choisit y dans f-1({x}) (non vide) et on pose g(x)=y.
    Donc si on a une surjection dans chaque sens on a aussi une injection dans chaque sens.
    Mais bon là on utilise l'axiome du choix, on peut peut-être faire sans.

    si on sait que B est muni (par exemple) d'une relation d'ordre total, il y a toujours bessoin de l'axiom du choix ou pas ?

  8. #6
    µµtt

    Re : théorème de Bernstein

    Toutes matthias

    Ksilver :
    f(0) = 1/2
    f(1) = 1/3
    f(1/n) = 1/(n+2), n € N*
    f(x) = x sinon

    Pas de fonction C° par contre

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  10. #7
    matthias

    Re : théorème de Bernstein

    Citation Envoyé par µµtt
    Toutes matthias
    Même la troisième ?
    Supposons qu'il existe une injection f de A dans B. f est bijective de A dans f(A). On construit alors g de B dans A de la manière suivante :
    On choisit a dans A.
    si x est dans f(A), g(x) = f-1(x)
    si x n'est pas dans f(A), g(x) = a
    g est alors une surjection de B dans A.

    Je sais bien qu'on "choisit" a dans A, donc il semble bien qu'on utilise implicitement l'axiome du choix.
    Mais j'ai entendu plusieurs personnes dire que l'axiome du choix n'était utile que pour choisir simultanément un élément dans un nombre infini d'ensembles. Je ne suis pas très calé en théorie des ensembles et je serai reconnaisannt à toute personne me fournissant un éclaircissement là-dessus.

  11. #8
    matthias

    Re : théorème de Bernstein

    Citation Envoyé par Ksilver
    Citation Envoyé par matthias
    Si on a une surjection f de A dans B, on peut construire facilement une injection g de B dans A :
    Pour x dans B, on choisit y dans f-1({x}) (non vide) et on pose g(x)=y.
    Donc si on a une surjection dans chaque sens on a aussi une injection dans chaque sens.
    Mais bon là on utilise l'axiome du choix, on peut peut-être faire sans.

    si on sait que B est muni (par exemple) d'une relation d'ordre total, il y a toujours bessoin de l'axiom du choix ou pas ?
    Mouais bon, tu auras pu constater que je ne suis pas (et de loin) un spécialiste de ce genre de question. Donc, première réponse : aucune idée.
    Deuxième réponse, je ne vois pas trop ce qu'un ordre total ou non sur B pourrait apporter, par contre je vois ce qu'un bon ordre sur A apporte : il suffit de poser g(x) égal au plus petit élément de f-1(x), donc en théorie plus besoin de l'axiome du choix.

    Mais comme l'axiome du choix est équivalent à l'existence d'un bon ordre sur tout ensemble, je ne suis pas sûr que ma réponse fasse avancer le Schlimimlmblmimlblick.

  12. #9
    rvz

    Re : théorème de Bernstein

    Bonjour,

    Une autre question qui me vient en lisant cette conversation : Est ce que l'axiome du choix est aussi nécessaire pour démontrer le théorème de Cantor Bernstein classique (i.e. avec des injections) ? Peut-on s'en passer ? Je connais quelques preuves, mais je suis quasiment sûr qu'elles font intervenir l'axiome du choix.

    __
    rvz, qui travaille avec l'axiome du choix de toute façon, parce que le lemme de Zorn et le théorème de Hahn Banach, c'est quand même super pratique

  13. #10
    invite986312212
    Invité

    Re : théorème de Bernstein

    Citation Envoyé par rvz
    Bonjour,

    Une autre question qui me vient en lisant cette conversation : Est ce que l'axiome du choix est aussi nécessaire pour démontrer le théorème de Cantor Bernstein classique (i.e. avec des injections) ? Peut-on s'en passer ? Je connais quelques preuves, mais je suis quasiment sûr qu'elles font intervenir l'axiome du choix.
    il y a deux parties dans ce théorème (parfois vus comme deux théorèmes). La première dit que si A et B sont deux ensembles, il existe une injection de A dans B ou bien une injection de B dans A, et je crois que cela nécessite l'axiome du choix. La seconde partie dit que s'il existe deux injections, alors il existe une bijection, et je ne pense pas que l'axiome du choix soit nécessaire (du moins, on l'avait démontré en exo en math sup et on ne savait rien de l'axiome du choix, mais il y avait peut-être des choses planquées sous le tapis...).

    Au fait, c'est Bernstein, Cantor/Bernstein ou bien Schröder/Bernstein?

  14. #11
    rvz

    Re : théorème de Bernstein

    Merci pour ta réponse rapide.

    Il me semble quand même que le deuxième théorème dont tu parles est une conséquence de l'axiome du choix. En tout cas, dans la preuve que je préfère, il faut regarder les éléments dont les chaines par les applications réciproques terminent dans A, B, ou sont infinies. Cette construction précise ne nécessite-t-elle pas l'axiome du choix ?

    Euh, sinon, pour les noms, je crois que Schroder Bernstein, c'est chez les russes, alors que Cantor Bernstein, c'est chez les occidentaux. Mais c'est vraiment Bernstein le premier à avoir énoncé ce théorème. Maintenant, il y avait peut-être des fautes dans sa preuve...
    __
    rvz

  15. #12
    matthias

    Re : théorème de Bernstein

    J'aime bien la démo de Wikipedia.
    Et pour répondre à vos questions :
    Le théorème de Cantor-Bernstein, également appelé théorème de Cantor-Schröder-Bernstein, est un théorème de la théorie axiomatique des ensembles. Il est nommé en l'honneur des mathématiciens Georg Cantor, Felix Bernstein et Ernst Schröder. Cantor en donna une première démonstration, mais qui utilisait implicitement l'axiome du choix. Bernstein et Schröder en donnèrent des démonstrations qui ne dépendaient pas de cet axiome.
    (Il ne s'agit ici que de la partie qui consiste à montrer que si il y a une injection dans chaque sens alors il y a une bijection)

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