Théorème

[inviteba93d44f]

bonjour,

je voudrais utiliser le théorème de convergence dominée pour calculer la limite de



mais je ne sais pas comment faire ?

merci.
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[invite35452583]

bonjour,

je voudrais utiliser le théorème de convergence dominée pour calculer la limite de



mais je ne sais pas comment faire ?

merci.

La suite de fonctions intégrées sont positives et convergent simplement vers la fonction nulle. Il ne reste plus qu'à trouver une fonction intégrable majorant toutes celles-ci.
remplacer (sint)ⁿ par 1, pas glop idée car il y a un problème en 0.
Soyons moins gourmand, majorons par sint.

[invite1237a629]

Bonsoir,

Je me pose une question, ne peut-on pas remplacer sin t par t, puisqu'on est au voisinage de 0 ?

[invite4ef352d8]

on peut remplacer par t dans le sens ou sin(t)<t et qu'on veut montrer que ca tend vers 0. mais je vois pas trop ce que tu as en tete précisement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteba93d44f]

quelles sont les démarches à faire en utilisant le theoreme de convergence dominée pour calculer la limite.

[invite1237a629]

on peut remplacer par t dans le sens ou sin(t)<t et qu'on veut montrer que ca tend vers 0. mais je vois pas trop ce que tu as en tete précisement.

Je ne sais pas trop...je voyais la fonction comme ça, mais c'est vrai qu'il faut se débarrasser du n :/

Désolée d'avoir squatté le topic

[invite8be57c24]

Salut !
C'est pas si bête de remplacer par t non ?
en fait on a :

d'où en majorant le terme à l'intérieur :

donc pour n assez grand (ie plus grand que 2 ...)
et la dernière majoration est intégrable sur [0,1] car continue !
d'où la majoration.

[inviteba93d44f]

oui, mais comment on en déduit la limite de cette intégrale ?

[invite8be57c24]

Bon alors si tu utilises le théorème bien comme il faut il te dit que :

Soit une suite de fonctions continues par morceaux définie sur I(ou mesurable sa dépend si t'as vu la théorie de la mesure ou pas).
Si où f est une fonction intégrable sur I tu as :
est intégrable et :
admet une limite quand et cette limite est :

L'intérêt de tout le théorème est de dire que la limite de l'intégrale est l'intégrale de la limite donc les étapes à vérifier pour appliquer le théorème sont ses hypothèses. C'est à dire que ta suite soient bien mesurables (ou continue par morceaux) et surtout dominée (comprendre majorée) par une fonction qui ne dépend pas de n! C'est la fonction qu'on a trouvé dans un post précédent !
Maintenant t'as le droit de dire que la limite de ton intégrale, c'est l'intégrale de la limite qui elle se calcule simplement et s'intègre assez facilement !!
bonne chance

[inviteba93d44f]

oui, mais la limite de



quand n tend vers l'infini, comment on la calcule ?

[invite8be57c24]

eh bien tu sais que sur [0,1] le sinus est strictement plus petit que 1...donc point par point ta fonction tends vers 0 !

[inviteba93d44f]

merci, et pour calculer la limite de



quand n tend vers l'infini, comment faire (je crois qu'il y a une forme indéterminée) ?

[invite8be57c24]

sur [0,1[ tu as : donc tu obtiens :
d'où tu obtiens la limite de ton intégrande facilement !

[inviteba93d44f]

la limite tend vers l'infini ?

[invite1237a629]

Avec t compris entre 0 et 1, non ^^

Quand tu multiplies 0.5 par 0.5, tu obtiens un nombre inférieur ou supérieur ?

[inviteba93d44f]

est-ce que c'est :



donc la limite tend vers

[inviteba93d44f]

avec le theoreme de convergence monotone, comment aurait-il fallu faire ?