Topologie- Théorème

[invited89c0c70]

Bonjour à tous !

J'ai un petit soucis sur la démonstration d'un certain théorème : Tout ouvert de R est réunion dénombrable d'intervalles ouverts deux à deux disjoints.

Je voudrais d'abord montrer que tout ouvert de R est réunion dénombrable d'intervalles ouverts, mais je n'y arrive pas.

On sait par définition, que tout ouvert U de R est réunion d'intervalles ouverts, mais je ne vois pas comment montrer que c'est une réunion dénombrable.

Faut-il utiliser le fait qu'un ensemble E est dénombrable s'il existe une application surjective d'une partie de N ou Q dans E ?

Merci beaucoup à tous pour vos conseils
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[GuYem]

Bonjour

D'après ce que je me rappelle (de mon oral d'agrégation hum hum), il faut utiliser de la connexité, et on n'est pas obligé de passer par ta question subsidiaire.

Prends un ouvert et écris-le comme la réunion disjointe de ses composantes connexes.
-Maintenant que sais-tu des connexes de R, n'ont-ils pas une forme particulière ?
-Ensuite, comment rendre cette réunion dénombrable ? Connais-tu une sous partie dénombrable particulière de R ?

En espérant que ces indices te mettent sur la voie.

[MMu]

Soit un ouvert non vide de . On procède par récurrence. Il existe un rationnel .
Soit tel que . On note qui est un ouvert , .. etc
On épuise ainsi tous les rationnels de l'ouvert initial et on obtient une suite d'intervalles ouverts deux à deux disjoints et dont la réunion est

[GuYem]

Euuh, tu es sûr(e) que A_2 est ouvert ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[Quinto]

Salut,
la dénombrabilité provient de la séparabilité de R.
Bonne chance,
a+

[invite986312212]

une idée de démonstration, pas bien jolie, mais qui doit marcher:
1) un ouvert connexe de R est un intervalle ouvert.
2) un ouvert de R est réunion de ses composantes connexes, donc réunion d'intervalles ouverts disjoints.
3) une famille disjointe d'intervalles ouverts est nécessairement dénombrable (car R est sigma-compact et la mesure de la réunion d'une famille d'intervalles ouverts inclus dans un compact est finie donc la famille dénombrable).

pour le 3) il faut faire intervenir un peu de théorie de la mesure, donc on sort de la topologie.

[GuYem]

Je proposais de modifier la démonstration de ambrosio après le point 2) par :

1) idem
2) idem
3) On écrit l'ouvert A où C(x) est la composante connexe (donc intervalle ouvert) de x et B un ensemble, pas forcément dénombrable, dans lequel il suffit de se faire ballader x pour recouvrir A. Vu la forme de la composante connexe C(x), il y a nécessairement un rationnel q à l'intérieur et C(x) = C(q). Ainsi A s'écrit .

[invited89c0c70]

Merci beaucoup à tous de m'avoir éclairer, je vois bien ou il faut aller maintenant !

[MMu]

Euuh, tu es sûr(e) que A_2 est ouvert ?

Biensur ! En doutes tu ? N'oublie pas la définition de ..

[GuYem]

C'est justement la définition de I_1 qui me fait peur pour l'ouverture de A_2.

Un ouvert moins un ouvert, ça fait pas forcément un ouvert ; mais je dois surement me planter quelque part dans les topologie induites ...

[MMu]

C'est justement la définition de I_1 qui me fait peur pour l'ouverture de A_2.

Un ouvert moins un ouvert, ça fait pas forcément un ouvert ; mais je dois surement me planter quelque part dans les topologie induites ...

Si est vide c'est terminé !
Supposons non vide , et soit un élément et comme est un ouvert, il existe un intervalle ouvert tel que .
Si alors est un intervalle plus grand que contenant et contenu dans , ce qui est en contradiction avec la définition de .
Il en résulte , donc , donc est un ouvert..
Do you follow me ? ..