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Topologie- Théorème



  1. #1
    Ergamen

    Topologie- Théorème


    ------

    Bonjour à tous !

    J'ai un petit soucis sur la démonstration d'un certain théorème : Tout ouvert de R est réunion dénombrable d'intervalles ouverts deux à deux disjoints.

    Je voudrais d'abord montrer que tout ouvert de R est réunion dénombrable d'intervalles ouverts, mais je n'y arrive pas.

    On sait par définition, que tout ouvert U de R est réunion d'intervalles ouverts, mais je ne vois pas comment montrer que c'est une réunion dénombrable.

    Faut-il utiliser le fait qu'un ensemble E est dénombrable s'il existe une application surjective d'une partie de N ou Q dans E ?

    Merci beaucoup à tous pour vos conseils

    -----

  2. Publicité
  3. #2
    GuYem

    Re : Topologie- Théorème

    Bonjour

    D'après ce que je me rappelle (de mon oral d'agrégation hum hum), il faut utiliser de la connexité, et on n'est pas obligé de passer par ta question subsidiaire.

    Prends un ouvert et écris-le comme la réunion disjointe de ses composantes connexes.
    -Maintenant que sais-tu des connexes de R, n'ont-ils pas une forme particulière ?
    -Ensuite, comment rendre cette réunion dénombrable ? Connais-tu une sous partie dénombrable particulière de R ?

    En espérant que ces indices te mettent sur la voie.
    Bravo jolie Ln, tu as trouvé : l'armée de l'air c'est là où on peut te tenir par la main.

  4. #3
    MMu

    Cool Re : Topologie- Théorème

    Soit un ouvert non vide de . On procède par récurrence. Il existe un rationnel .
    Soit tel que . On note qui est un ouvert , .. etc
    On épuise ainsi tous les rationnels de l'ouvert initial et on obtient une suite d'intervalles ouverts deux à deux disjoints et dont la réunion est

  5. #4
    GuYem

    Re : Topologie- Théorème

    Euuh, tu es sûr(e) que A_2 est ouvert ?
    Bravo jolie Ln, tu as trouvé : l'armée de l'air c'est là où on peut te tenir par la main.

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    Quinto

    Re : Topologie- Théorème

    Salut,
    la dénombrabilité provient de la séparabilité de R.
    Bonne chance,
    a+

  8. #6
    invite986312212
    Invité

    Re : Topologie- Théorème

    une idée de démonstration, pas bien jolie, mais qui doit marcher:
    1) un ouvert connexe de R est un intervalle ouvert.
    2) un ouvert de R est réunion de ses composantes connexes, donc réunion d'intervalles ouverts disjoints.
    3) une famille disjointe d'intervalles ouverts est nécessairement dénombrable (car R est sigma-compact et la mesure de la réunion d'une famille d'intervalles ouverts inclus dans un compact est finie donc la famille dénombrable).

    pour le 3) il faut faire intervenir un peu de théorie de la mesure, donc on sort de la topologie.

  9. Publicité
  10. #7
    GuYem

    Re : Topologie- Théorème

    Je proposais de modifier la démonstration de ambrosio après le point 2) par :

    1) idem
    2) idem
    3) On écrit l'ouvert A où C(x) est la composante connexe (donc intervalle ouvert) de x et B un ensemble, pas forcément dénombrable, dans lequel il suffit de se faire ballader x pour recouvrir A. Vu la forme de la composante connexe C(x), il y a nécessairement un rationnel q à l'intérieur et C(x) = C(q). Ainsi A s'écrit .
    Bravo jolie Ln, tu as trouvé : l'armée de l'air c'est là où on peut te tenir par la main.

  11. #8
    Ergamen

    Re : Topologie- Théorème

    Merci beaucoup à tous de m'avoir éclairer, je vois bien ou il faut aller maintenant !

  12. #9
    MMu

    Cool Re : Topologie- Théorème

    Citation Envoyé par GuYem Voir le message
    Euuh, tu es sûr(e) que A_2 est ouvert ?
    Biensur ! En doutes tu ? N'oublie pas la définition de ..

  13. #10
    GuYem

    Re : Topologie- Théorème

    C'est justement la définition de I_1 qui me fait peur pour l'ouverture de A_2.

    Un ouvert moins un ouvert, ça fait pas forcément un ouvert ; mais je dois surement me planter quelque part dans les topologie induites ...
    Bravo jolie Ln, tu as trouvé : l'armée de l'air c'est là où on peut te tenir par la main.

  14. #11
    MMu

    Cool Re : Topologie- Théorème

    Citation Envoyé par GuYem Voir le message
    C'est justement la définition de I_1 qui me fait peur pour l'ouverture de A_2.

    Un ouvert moins un ouvert, ça fait pas forcément un ouvert ; mais je dois surement me planter quelque part dans les topologie induites ...
    Si est vide c'est terminé !
    Supposons non vide , et soit un élément et comme est un ouvert, il existe un intervalle ouvert tel que .
    Si alors est un intervalle plus grand que contenant et contenu dans , ce qui est en contradiction avec la définition de .
    Il en résulte , donc , donc est un ouvert..
    Do you follow me ? ..

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