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découpage aléatoire d'un intervalle



  1. #1
    robert et ses amis

    découpage aléatoire d'un intervalle


    ------

    Bonjour à tous,

    Tout est dans le titre (enfin presque) :
    je cherche des éléments sur le découpage aléatoire d'un intervalle en N segments (N fixé). Je suis preneur de toutes les informations.

    Si on veut se fixer un cadre plus précis, imaginons un segment de longueur N fixé et prenons (N-1) variables aléatoires (Vi) uniformément réparties sur [0;N]. On ré-indice les (Vi) de sorte à les classer dans l'ordre croissant et l'on définit les N variables aléatoires (di) par:
    d1 = V1 ;
    ...
    di = Vi - Vi-1 ;
    ...
    dN = N - VN-1 .

    Que peut-on alors dire des (di) (moments, loi...)?

    Dit autrement, que peut-on savoir sur une collection de N variables aléatoires dont la somme est fixée ?

    Merci de votre aide.

    -----

  2. #2
    rvz

    Re : découpage aléatoire d'un intervalle

    Salut,

    C'est rigolo, je me suis posé exactement la même question ce week end. En fait pour des questions pratiques, je ne prends pas des variables Vi parce que je veux avoir un ordre pré établi dessus.
    Je prends donc les x_i = i/(n+1), puis je pose
    y_0 = x_0 = 0
    y_{n+1} = x_{n+1} = 1
    y_j = x_j + e_j,
    où les e_j sont des variables aléatories de loi uniforme sur [-1/(3n), 1/(3n)] de façon à conserver l'ordre des y_j.
    Après, je pose h_j = y_{j+1}-y_j. C'est quelque chose de l'ordre de 1/n. Que peut on dire de la loi de h_j h_{j+1} ?

    Toute réponse est la bienvenue, même si ce n'est "que" pour proposer une reformulation ou une vague référence.

    __
    rvz, qui laisse Robert et ses amis en plan, désolé

  3. #3
    invite986312212
    Invité

    Re : découpage aléatoire d'un intervalle

    Citation Envoyé par robert et ses amis Voir le message
    Dit autrement, que peut-on savoir sur une collection de N variables aléatoires dont la somme est fixée ?
    peut-être que la bonne approche c'est de reparamétrer l'espace (un simplexe) avec (n-1) coordonnées.

  4. #4
    robert et ses amis

    Re : découpage aléatoire d'un intervalle

    Bon alors comme je l'ai dit, l'essentiel pour moi est que ma collection de N variables aléatoires est une somme fixée (égale à N).

    J'ai pensé aussi à voir ça sous un autre angle:
    On considère cette fois un vecteur aléatoire U dans RN. Les N composantes de U constituent mes N variables aléatoires. Ma condition sur la somme entraine que U est dans l'hyperplan d'équation x1+x2+...+xN=N. Si j'impose en plus que toutes les composantes soient positives, U appartient à une partie finie de l'hyperplan qu'on pourrait désigner comme un "triangle de dimension (N-1)".

    Ce formalisme me convient bien je pense car ce que je n'ai pas encore dit, c'est que je m'intéresse au final à des combinaisons linéaires des Ui, ce qu'on peut désormais écrire comme un produit scalaire:
    S=A.U.
    Ici S est donc une variable aléatoire scalaire dont j'aimerais bien connaître quelques propriétés comme l'espérance et la variance par exemple.
    Par exemple, si on note 1 le vecteur dont toutes les composantes sont égales à 1, on a 1.U=N.

    Pour le cas de S=A.U, vous aurez remarqué que je n'ai rien dit sur A... On peut considérer dans un premier temps qu'il est constant, mais ce qui m'intéresse vraiment, c'est le cas où A est aussi un vecteur aléatoire et, pour simplifier, indépendant de U.

    Voilà, vous savez tout, si quelqu'un à des idées ou des références sur la question, je lui serais très reconnaissant.

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    robert et ses amis

    Re : découpage aléatoire d'un intervalle

    Citation Envoyé par ambrosio Voir le message
    peut-être que la bonne approche c'est de reparamétrer l'espace (un simplexe) avec (n-1) coordonnées.
    arf, j'ai mis un peu de temps à écrire mon message, mais comme tu vois, je suis d'accord avec toi.

    mais cela ne constitue que le premier pas, as-tu une idée sur la suite?

  7. #6
    invite986312212
    Invité

    Re : découpage aléatoire d'un intervalle

    Citation Envoyé par robert et ses amis Voir le message
    mais cela ne constitue que le premier pas, as-tu une idée sur la suite?
    une autre idée: partir d'un processus de Poisson stationnaire et conditionner par la valeur du n-ième point.
    Ca revient à tirer des indépendamment dans la loi exponentielle et à poser et à conditionner par (qui suit une loi gamma). On doit pouvoir écrire la densité de ça.

  8. #7
    GrisBleu

    Re : découpage aléatoire d'un intervalle

    Salut

    A une normalisation pres c est un histogramme (ou distribution multinomiale), non ? Il y a deja eu une gros travail dessus car c est utilise en classificatio de texte, on peut meme s amuser a y coller de la geometrie diffrentielle
    - http://citeseer.ist.psu.edu/lafferty04diffusion.html (pour un papier symap). En gros l espace des distributions multinomiales est une variete (avec la metrique etant la metrique de fisher)
    - http://www1.cs.columbia.edu/~risi/notes/multinomial.pdf pour une bonne introduction
    c est fun

  9. #8
    zinia

    Re : découpage aléatoire d'un intervalle

    Bonjour,

    Je reviens au problème initial posé par robert et ses amis Il ne me semble pas insoluble, il suffit d'écrire que dp=u <=> avec les conditions pour les autres Vp
    Cela donnerait
    (n-2)(n-1) possibilités pour le choix de Vp,Vp-1
    pour le choix des inférieures, les supérieures étant alors définies.
    et donc finalement

    On détermine facilement que Prob(V<x)=x et Prob(V>x)=1-x
    Cela donne alors tous calculs faits et sauf erreur
    densité
    Je n'ai pas traité le cas des bords
    J'ai l'impression que vous êtes partis sur un autre pb

  10. #9
    zinia

    Re : découpage aléatoire d'un intervalle

    petites corrections/précisions :
    à la fin c'est dp et non dn dont la loi ne dépend de p si 1<p<n
    j'ai raisonné sur des distributions des V uniformes sur [0;1] et non [0,N]

  11. #10
    robert et ses amis

    Re : découpage aléatoire d'un intervalle

    Je ne l'ai pas encore dit mais je l'ai pensé très fort : merci de vous pencher sur mon problème.

    de manière globale, je dois vous préciser que les probas ne sont pas ma spécialité...

    Pour ambrosio : j'ai pas vraiment compris ce que tu suggères, es-tu encore dans le contexte du simplexe que tu proposais?

    Pour wlad_von_tokyo : j'ai pas compris non plus (je vais finir par avoir l'air bête moi ). peux-tu expliquer succintement le lien que tu fais avec un histogramme?

    Pour zinia : si j'ai bien compris tu parts sur le formalisme du post #1. tu vas un peu trop vite pour que je saisisse bien tout, mais j'ai l'impression que ça devient vite lourd. Peut-être que le formalisme que je propose au post #4 simplifie les choses?

    Merci à vous donc, je me permet juste de mettre en avant ce qui m'intéresse le plus : déterminer les moments (ordre 1 et 2) de la variable aléatoire S=A.U, si des choses existent la dessus, merci de m'en faire part.

  12. #11
    GrisBleu

    Re : découpage aléatoire d'un intervalle

    Citation Envoyé par robert et ses amis Voir le message
    Pour wlad_von_tokyo : j'ai pas compris non plus (je vais finir par avoir l'air bête moi ). peux-tu expliquer succintement le lien que tu fais avec un histogramme?
    tes di sont des variables positives, dont la somme est constante. Si tu divises par cette omme, tu obtiens donc des nombres, positifs et dont la somme vaut 1. Graphiquement ca ressemble beaucoup a un histogramme (ou une pdf discrete). Or, il y a eu beaucoup de choses faites sur ces histogrammes, car c est beaucoup utilise en classement de texte.

    Considere maintenant l ensembles des n -uplets positifs dont la somme est fixe, ca fait une figure geometrique (d ou le simplexe). Le reste n est que de l hors programme (ce devrait plaire a rvz. par exemple: la theorie de l information geometrique)

  13. #12
    robert et ses amis

    Re : découpage aléatoire d'un intervalle

    Citation Envoyé par wlad_von_tokyo Voir le message
    tes di sont des variables positives, dont la somme est constante. Si tu divises par cette omme, tu obtiens donc des nombres, positifs et dont la somme vaut 1. Graphiquement ca ressemble beaucoup a un histogramme (ou une pdf discrete). Or, il y a eu beaucoup de choses faites sur ces histogrammes, car c est beaucoup utilise en classement de texte.

    Considere maintenant l ensembles des n -uplets positifs dont la somme est fixe, ca fait une figure geometrique (d ou le simplexe). Le reste n est que de l hors programme (ce devrait plaire a rvz. par exemple: la theorie de l information geometrique)
    merci, je comprend mieux. Pour le hors-programme, je m'en fiche un peu étant donné que je n'ai plus de programme ...
    Par contre, aurais-tu quelques mots-clé qui mettent plus en lien les histogrammes avec mon histoire de produit scalaire ?

  14. #13
    zinia

    Re : découpage aléatoire d'un intervalle

    Je reviens sur le problème tel que tu l'as initialement posé.
    C'est finalement assez simple et la loi des dp est indépendante de p, bornes comprises. Autrement dit, en revenant à des Vi uniformément réparties entre 0 et N, la loi de di est donné par la fonction

    dont l'espérance mathématique est de 1.
    En revanche, pour le moment d'ordre deux, on a bien E(dp²)=2N mais tes variables ne sont pas indépendantes, il te faudrait introduire les covariances pour obtenir la variance de S.
    C'est peut-être calculable

  15. #14
    zinia

    Re : découpage aléatoire d'un intervalle

    Pour compléter, en supposant qu'il ne se soit pas glissé d'erreur de calcul, je trouve que si i#j et 2N sinon.
    Cela devrait suffire pour calculer les moments d'ordre 1 et 2 de S

  16. #15
    robert et ses amis

    Re : découpage aléatoire d'un intervalle

    merci zinia, je regarde tout ça calmement demain

  17. #16
    zinia

    Re : découpage aléatoire d'un intervalle

    petite correction :

    et
    rappel

  18. #17
    robert et ses amis

    Re : découpage aléatoire d'un intervalle

    Citation Envoyé par zinia Voir le message
    Je reviens sur le problème tel que tu l'as initialement posé.
    C'est finalement assez simple et la loi des dp est indépendante de p, bornes comprises. Autrement dit, en revenant à des Vi uniformément réparties entre 0 et N, la loi de di est donné par la fonction

    dont l'espérance mathématique est de 1.
    bon alors, je n'ai pas repris ton raisonnement, mais je suis parti sur mon formalisme du post #4 avec une distribution uniforme sur le "n-simplexe" et miracle : je retrouve les mêmes résultats que toi (les fautes de recopiage en moins ).

    donc merci, ça me fournit l'équivalence entre les deux, ce qui est une bonne chose. Je vais malgré tout rester sur le formalisme du post #4 car il est plus général (on peut facilement changer la distribution tout en gardant les caractéristiques que je veux imposer) et car il fournit de manière naturelle les lois jointes (enfin il faut se taper quelques calculs d'intégrales multiples).

  19. #18
    zinia

    Re : découpage aléatoire d'un intervalle

    Bonsoir
    Eh où il est passé ce -2 ?
    Oui je l'avais oublié. Sinon, ce qui est rassurant c'est que si on calcule l'espérance et la variance pour ton S=1.U on trouve bien N pour E(X) et 0 pour V(X)
    Bon courage pour la suite

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