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intégrales....de logarithmes



  1. #1
    fizz

    intégrales....de logarithmes


    ------

    salut !! j'aurais besoin d'aide pour une toute petite intégrale qui me pose bien des problèmes pour la suite de mon exo : je voudrai calculer:

    int de 1à 2 de lnx /x dx.

    g du mal avec les intégrations par partie , je retombe toujour sur le mem résultat!!
    Si quelqun pouvai m'aidé , sa seré génial !!

    -----

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  4. #2
    erik

    Re : intégrales....de logarithmes

    Salut,

    pas besoin d'integration par partie.

    La fonction à integrer est

    Quel est la dérivée de la fonction ln(x) ?

    Donc ta fonction est de la forme ... et là normalement tu dis bien sur j'ai une primitive évidente !!!

  5. #3
    BELHARET

    Re : intégrales....de logarithmes

    Bonsoir monsieur je vous propose cette réponse , suivez bien :
    On va chercher ∫Lnx /x dx . alors on pose : t = 1/x , donc x = 1/t , et dx/dt = -1/t
    Donc : ∫lnx /x dx = ∫(-t.lnt).(-1/t)dt (en remplaçant x par 1/t).
    Alors ∫lnx /x dx = ∫lnt dt. On utilise l’intégration par parties :
    On pose ; f '(t)= 1 => f(t)= t.
    G (t)= lnt => G'(t)= 1/t
    ∫lnt dt = t.lnt-∫t.(1/t) dt = (t.lnt)-t alors : ∫lnx /x dx = ∫lnt dt = (t.lnt)-t . on remplace t par 1/x et on aura : ∫lnx /x dx = [(1/x)ln(1/x)]-(1/x)

  6. #4
    invite19431173

    Re : intégrales....de logarithmes

    Je vote pour erik !

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  8. #5
    feldid

    Re : intégrales....de logarithmes

    solution de belharet fausse: dx/dt=-1/t^2

  9. #6
    fizz

    Re : intégrales....de logarithmes

    parsken fait , après j'ai trouvé une solution grace aux intégrales par partie mais je pense pas ke ce soit bon :

    j'ai pri : intde 1 à2 x^-1lnx dx
    avec l'intégration par partie sa fé :

    u(x)= lnx donc u'(x) = 1/x
    v'(x) =x^-1 donc v(x) = x^-1+1= x^0=1

    soit alors :
    int x^-1lnxdx= lnx- int 1* 1/x
    => lnx -[lnx] de 1 à 2
    => lnx- ln(2)+ ln(1)
    => lnx- ln(2)
    voilà mon résultat en prenant mes intégrations par partie. MAis je ne pense pas ke ce soit bon vu kon a placé la puissance en x comme sa.

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  11. #7
    erik

    Re : intégrales....de logarithmes

    Si v'(x) =x^-1 alors v(x)=ln(x)
    La dérivée de ln(x) c'est 1/x donc la primitive de 1/x c'est ln(x).

    Si tu ne veux pas suivre mon conseil du post #2, tu peux effectivement t'en sortir avec une intégration par partie.
    Reessaye de faire tes calculs en prenant la bonne expression pour v(x)

    PS : fait gaffe à ta façon d'écrire, le style sms est très peu apprécié sur ce forum

  12. #8
    fizz

    Re : intégrales....de logarithmes

    Salut ,
    excuses moi pour le language msn , j'ai écrit par habitude. Je pense que je vais devoir suivre ta méthode , étant donné qu'avec l'intégration par partie je retombe toujours sur le même résultat. Parsqu'au début , j'ai bien pri comme primitive de x^-1 : lnx.
    regardez :
    u(x)= lnx donc u'(x) = 1/x
    v'(x) = 1/x donc v(x) = ln(x)
    =>
    int de 1 à 2 lnx/x = 2lnx - int lnx/x .
    Ce qui fait qu'à chaque fois , je retombe toujour sur la même fonction à intégrer indéfiniment , sans jamais tomber sur une formule simple à intégrer après.
    Aussi , quand tu dis qu'il y a deux primitive évidente , je le vois bien, mais je ne sais pas comment faire pour les simplifier

  13. #9
    erik

    Re : intégrales....de logarithmes

    ce n'est pas
    int de 1 à 2 lnx/x = 2lnx - int lnx/x
    c'est
    int de 1 à 2 lnx/x = (lnx)^2 - int lnx/x que tu dois obtenir,
    u(x)=ln(x) et v(x)=ln(x) donc u(x)v(x))=(ln(x))²
    ça doit être une faute d'étourderie.

    Bien maintenant que tu as :
    tu as la réponse.

    Si,si regarde bien l'équation elle est de la forme a=quelque chose - a , avec a : la fameuse intégrale que tu cherches, passe le -a à gauche du signe égal, et hop tu as la solution

  14. #10
    fizz

    Re : intégrales....de logarithmes

    Attend , je pense avoir compris quand tu me dis :
    ma dérivée de lnx est : 1/x.
    donc , j'ai ma fonction qui donne la forme de :
    f'f^x
    ce qui me donne en primitive d'après la formule)
    f^x+1/x+1

    donc si je suis ton raisonnement ,
    f'(x) = 1/x et f=ln x

    ce qui fait : ln ^2/2 vu que lnx n'a pas de puissance . ???????

  15. #11
    erik

    Re : intégrales....de logarithmes

    Aie, une chose à la fois, bon essaye de finir par intégration par partie (à l'aide de mon message #9)

    Et après on parle de mon message #2

  16. #12
    fizz

    Re : intégrales....de logarithmes

    désolé , on a écrit un message en même temps et je n'avait pas vu ce que tu avais écrit .
    Mais pourquoi faut-il que je passe le signe de a , qui est devant l'intégrale avant le signe égal? Ca donnera toujours la même fonction non ?

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  18. #13
    fizz

    Re : intégrales....de logarithmes

    Si je le passe à gauche , les deux intégrales s'annulent . Il ne me reste plus que le terme intermédiaire. C'est possible?

  19. #14
    erik

    Re : intégrales....de logarithmes

    Mais non elle ne s'annulent pas, elles s'ajoutent :
    a=truc-a donc
    2a=truc

  20. #15
    GuYem

    Re : intégrales....de logarithmes

    (
    Je m'immisce pour donner mon avis : un exo posé comme ça est clairement destiné à faire utiliser la primitive d'une fonction de la forme u'.u comme l'a dit erik. Un prof qui voit quelqu'un résoudre ça avec une intégration par partie risque de grogner tellement c'est flagrant.

    Je rajoute enfin un mot à l'intention de BELHARET : bienvenu sur le forum, ce n'est pas grave si tu t'es planté !

    et je ressors ==>

    )
    Bravo jolie Ln, tu as trouvé : l'armée de l'air c'est là où on peut te tenir par la main.

  21. #16
    fizz

    Re : intégrales....de logarithmes

    Oui désolé j'ai vu que j'avais dit une bêtise juste après l'avoir écrit.
    donc cela me donne :
    2 int lnx/x= [(ln(x))^2] de 1 à 2. C'est bien ça?

  22. #17
    erik

    Re : intégrales....de logarithmes

    C'est clair,
    toutefois c'est interessant aussi de se retrouver après une IPP avec une équation dont la variable est l'intégrale recherchée (c'est un truc qui se rencontre dans d'autre exo)
    C'est pour ça que j'essaye de faire trouver les deux méthodes à Fizz.
    Même si au départ je proposais la solution "évidente"

  23. #18
    fizz

    Re : intégrales....de logarithmes

    Donc vous pensez tous qu'il faut laisser tomber cette méthode . Je vais reéssayé avec la méthode écrite en #9 et #10 parsqu'il me semble que je me suis trompé!

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  25. #19
    erik

    Re : intégrales....de logarithmes

    donc cela me donne :
    2 int lnx/x= [(ln(x))^2] de 1 à 2. C'est bien ça?
    oui,

  26. #20
    erik

    Re : intégrales....de logarithmes

    tu calcules [(ln(x))^2] de 1 à 2 , tu divises par 2, tu as la valeur numérique recherchée.

    Bon maintenant, comme on disait, il y'avait plus simple.

  27. #21
    fizz

    Re : intégrales....de logarithmes

    ouf !!
    Je vais essayer maintenant avec l'autre méthode proposée, si elle est plus simple il vaut mieux que j'arrive à me servir de tout !

  28. #22
    BELHARET

    Re : intégrales....de logarithmes

    salut . finalement ma réponse est fausse. je m'excuse

  29. #23
    erik

    Re : intégrales....de logarithmes

    Oh bah c'est pas grave, ça arrive à tout le monde de se tromper.

    De plus pour conclure (en espérant que fizz repasse par là) le plus simple était de dire que ln(x)*1/x est de la forme u(x)*u'(x), avec u(x)=ln(x).

    Et une primitive de u'(x)*u(x) est évidemment 1/2*(u(x))^2.

    Donc sait exprimer une primitive de notre fonction : 1/2*(ln(x))^2 (et on retrouve bien le resultat trouvé par intégration par partie)

  30. #24
    fizz

    Re : intégrales....de logarithmes

    oui désolé , je suis parti un peu plus longtemps . Donc , en recalculant avec la primitive évidente on retombe bien sur le même résultat. C'est bien de voir que l'on peut y arriver par différentes méthodes , et se corrifier en regardant si on tombe sur les mêmes résultat finalement. Merci encore pour m'avoir aidé!!!

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  32. #25
    erik

    Re : intégrales....de logarithmes

    Citation Envoyé par fizz Voir le message
    Merci encore pour m'avoir aidé!!!
    De rien, maintenant on peut dire que tu t'est bien intégré au forum

  33. #26
    fizz

    Re : intégrales....de logarithmes

    Merci c'est gentil. Je savais vraiment pas comment marchait un forum car c'est la première fois que je m'inscrit quelque part. Finalement, je ne regrette vraiment pas !

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