Logarithmes

[inviteba9bce0d]

Salut

Donc voilà, je passe en T°S et j'entend souvent le terme de Logarithme népérien.
Pouvez-vous m'expliquer en quoi çà consiste, dans quels calculs on l'utilise?
(Avec des représentation mathématique si possible).

Merci d'avance.
-----

[invite88ef51f0]

Salut,
Tu le verras bientôt.
C'est défini comme étant une fonction telle que sa dérivée soit 1/x. L'intérêt du logarithme, c'est qu'on a ln(a.b)=ln(a)+ln(b).

[inviteba9bce0d]

Mais elle resemble à quoi cette fonction?
Elle est modifié en fonction de a et b?
Quelle est sont utilitée?

[invitec053041c]

Oui, comme l'a dit coincoin, tu as la relation simple:


Tu as deux manières de l'aborder (la première avec l'intégrale) et la seconde telle que je l'ai abordée l'année dernière, comme étant la réciproque de la fonction exponentielle (qu'on te fera étudier avant dans ce cas là).
C'est-à-dire, y=exp(x) <=> x=lny

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitec053041c]

Quelle est sont utilitée?

Elle sert à établir de nouvelles primitives (fonction dont la dérivée est ce qu'on a au départ) qui n'étaient pas exprimables sans cette fonction ln.
Elle sert à la résolution d'équations différentielles, elle sert à résoudre des équations du type etc...

[invite427a2582]

Salut,

Tu verras tout ça l'année prochaine, ca ne sert à rien de s'avancer pdt ces vacances
Ce n'est pas compliqué, et puis si tu as peur de ne pas tout comprendre, ta prof sera là pour ça !

[inviteba9bce0d]

Merci pour les réponses.

Oui, comme l'a dit coincoin, tu as la relation simple:

Je n'est pas non plus vu les intégrales ^^, mais comme j'ai à peu prés compris le principe, je ne comprend pas comment peut être égale à une intégrale, soit une aire?


Edit: Syracuse_66 > non je cherche pas particuliérement à m'avancer, mais çà m'interresse, donc je demande.

[invitec053041c]

Je n'est pas non plus vu les intégrales ^^, mais comme j'ai à peu prés compris le principe, je ne comprend pas comment peut être égale à une intégrale, soit une aire?

C'est une définition de la fonction logarithme népérien.
C'est comme lorsqu'on t'a dit que cos(x) était l'abscisse sur le cercle trigonométrique d'un point faisant un angle x avec le vecteur .
On va te dire que l'exponentielle est la seule fonction vérifiant y'=y et y(0)=1
Là aussi ça partira comme une définition possible de la fonction exponentielle.

[inviteba9bce0d]

Merci, mais je n'ai pas non plus vu les exponentielles
Si vous pouviez m'expliquer çà m'avancerait surement, je sais juste que cette fonction est indérivable (enfin je crois) et qu'elle progresse extrémement vite.

[invitec053041c]

Je ne veux pas trop t'en dire, car ça te gâchera le plaisir de ton année de terminale, et crois-moi que tu auras tout le temps d'assimiler ces nouveaux concepts .
L'exponentielle n'est pas indérivable, au contraire elle est indéfiniment dérivable, mais c'est juste que lorsqu'on la dérive, elle reste la même (exp'(x)=exp(x)) . Elle va donc aussi vite qu'elle ne croît...

[inviteba9bce0d]

Mais pourquoi ??

[invitec053041c]

Mais pourquoi ??

Par définition .

[invitec053041c]

Sauf si on part de la définiton intégrale de ln, alors le fait que exp'=exp se démontre. Mais bon , c'est une affaire d'amour entre ln et exp, donc tout est étroitemnt lié . Lorsqu'on fixe une hypothèse, tout découle à un moment ou un autre.

[inviteba9bce0d]

Mais permet d'extraire la puissance de l'exponentielle?

[invitec053041c]

Mais permet d'extraire la puissance de l'exponentielle?

Oui en quelques sortes, puisque c'est sa fonction réciproque.

[inviteba9bce0d]

Ok, mais si on reprend cette formule:



Que signifit-elle?

[invitec053041c]

Ok, mais si on reprend cette formule:



Que signifit-elle?

Cela signifie que ln(t) représente l'aire algébrique (comptée + ou - ) située entre l'axe des abscisses,la droite d'équation x=1, la droite d'équation x=t et la courbe de la fonction inverse .
Mais il n'empêche que cette fonction a d'autres propriétés, telle que ln(ab)=lna+lnb, ln(a^x)=xlna et qu'elle est bien la réciproque de lexponentielle.Ca n'est pas intuitif mais c'est comme ça .

[invite43bf475e]

Trop puissante la fonction ln!!!
En physique pour la décroissance radioactive...(ln=réciproque de l'exp)
Pour déterminer les proba...

POur la notation avec l'intégrale, ln est en ft la primitive de 1/x, 1/x étant sa dérivée...en terminale on ne démontre pas encore l'existence de la dérivée, on la prouve seulement...Ce qu'il savoir c'est que c'est une fonction continue, définie sur lR+ à valeur ds lR... et que pr tt reel a :
a=ln (e^a)=e^(ln a)

[invitea7fcfc37]

Salut,

Pour déterminer les proba...

Tu penses à quoi exactement ?

POur la notation avec l'intégrale, ln est en ft la primitive de 1/x

C'est plutôt une des primitives de 1/x, et plus précisément celle qui s'annule en 1

[invite427a2582]

Tu penses à quoi exactement ?

Lorsqu'on cherche par exemple le nombre de fois qu'il faudra réitérer une expérience pour que la probablilité P(E) d'un évènement E soit inférieure ou supérieure à un réel fixé. P(E) contient alors un terme de la forme et il faut donc utiliser la propriété :

[CM63]

Tu as raison d'être curieux, Univscien, moi aussi je trouvais ça fascinant. Et tu verras qu'il y a encore plus fort, il y a une relation entre la fonction exponentielle et les fonctions trigonométriques, par l'intermédiaires des nombres complexes. Et ça c'est carrément renversant!

[invitec053041c]

Tu as raison d'être curieux, Univscien, moi aussi je trouvais ça fascinant. Et tu verras qu'il y a encore plus fort, il y a une relation entre la fonction exponentielle et les fonctions trigonométriques, par l'intermédiaires des nombres complexes.

Enfin ne compliquons pas trop les choses, surtout qu'en TS, la notation exponentielle complexe est symbolique .

[inviteba9bce0d]

Lol je n'ai même pas encore vu les complexes, mais si c'est si renversant, je suis impatient.

D'ailleur, vous pouvez m'expliquer ce que les "Complexes" svp??
Merci.

[invited9092432]

salut,

les nombres complexes forment une nouvel ensemble (ce n'est peut-être pas le terme exact, désolé) de nombres, noté C.
Ainsi, tu as:
N c Z c Q c R c C (avec c=inclus dans).

Ce qui est "spécial" dans C, c'est que l'on introduit un nombre i tel que:
i² = (-1) (eh oui !)

Mais bon, il vaut mieux découvrir cela pendant ton année de Term, ça a beaucoup de charme quand tu découvres cela en classe, et que ton professeur fait par exemple quelques références historiques.

[invitec053041c]

D'ailleur, vous pouvez m'expliquer ce que les "Complexes" svp??
Merci.

Bon, je vais essayer de faire court.
Les complexes,c'est un ensemble de nombres qui viennent juste au dessus des réels (en gros). C'est l'ensemble des couples (a,b) de , munis de deux lois + et x :
(a,b)+(c,d)=(a+b,c+d)
(a,b)x(c,d)=(ac-bd,ad+bc)
Muni de ces 2 lois, C est un corps (commutatif). Pour faire court, ça signifie que C est stable par + et x (multiplier ou additionner 2 complexes, cela nous donne un résultat dans les complexes). L'élément neutre de l'addition est (0,0) et celui de la multiplication est (1,0). (tu peux vérifier) Et il y a distributivité entre + et x.
Et chose très importante pour être un corps, tout complexe non nul admet un inverse par la multiplication.
C'est-à-dire que pour tout couple (a,b) différent de (0,0), il existe (a',b') tq (a,b)x(a',b')=(1,0)
Enfin, tout complexe z peut s'écrire:
z=(a,b)=(a,0)+(0,b)=a(1,0)+b(0 ,1)
On identifie (1,0) à 1 et (0,1) est noté i.
Donc z=a+ib (a et b sont des réels, mais a est appelé partie réelle, b partie imaginaire)

Tu peux voir que i²=-1, car (0,1)x(0,1)=(-1,0)=(-1)(1,0) assimilé à -1.
Après toutes ces définitions, on va te dire que pour calculer dans C, tu t'y prends exactement pareil que dans IR, à la seule particularité que i²=-1 .

[invitebb921944]

Lol
T'aurais du faire un peu plus compliqué c'est pas comme s'il était encore au lycée

[invitec053041c]

Lol
T'aurais du faire un peu plus compliqué c'est pas comme s'il était encore au lycée

Lol, moi on me l'a introduit comme ça à peu près en terminale (enfin étalé sur plusieurs cours...)

[invitebe0cd90e]

et si jamais tu voulais voir a quoi ca ressemblait....

[inviteba9bce0d]

Lol
T'aurais du faire un peu plus compliqué c'est pas comme s'il était encore au lycée

C'est ironique ou pas??

Je doit avouer que j'ai compris la moitié de ton explication Ledescat.
En gros:

Donc est réel si , et immaginaire si ??

Mais quel est le but de tous çà?

, c'est un complexe çà?
Elle servent à quoi en gros ces formules?

[invitec053041c]

Non c'est pas ironique, j'y suis allé un peu fort sur le coup .
Oui, si y est nul, alors z est réel, si x est nul, z est un imaginaire pur .

(ac-bd,ad+bc) est un couple de IR^2, c'est bien un complexe.
Mais ces formules avec les couples (a,b), les (ac-bd,ad+bc) etc...c'est pour bien définir les complexes.Après on ne les utilise plus, on se sert juste des formes (a+ib), et d'autres formes que tu verras plus tard .

Fais le calcul de (a+ib)*(c+id) comme si tu manipulais des réels (à l'exception que i²=-1), tu vas te rendre compte que ça te donne bien le fameux (ac-bd,ad+bc).

Mais quel est le but de tous çà?

Tu verras avec ton prof que les complexes et la géométrie plane, ça fait très bon ménage .