Bonjour, je voudrais qu'on me propose une démonstration du petit théorème de ermat, j'en ai trouvé beaucoup sur http://fr.wikipedia.org/wiki/D%C3%A9...A8me_de_Fermat
mais je ne les ai pas très bien comprises particulièrement celle avec le binôme de Newton que je maîtrise mal .
Merci
qu'est ce qui te gene exactement dans la demo avec les coefficients binomiaux ?
elle consiste simplement a dire que si p est premier, si tu developpe, alors tous les termes vont etre des mutliples de p sauf
et ainsi de suite.
On se place dans Z/pZ
On montre que si a est premier avec p, alors
{0,1,2,...,p-1}={a.0,a.1,a.2,...,a.(p-1)}
Donc
On simplifie par
Puisqu'on est dans Z/pZ : a^(-1) est congru à 1 modulo (p)
Pour démontrer l'égalité des deux ensembles, on peut montrer que l'application h: x->a.x de Gp dans G est bijective (et que son image est bien dans Gp)
Dès la première phrase je suis perduEnvoyé par Ganash
Pour faire le plus simple possible :
Z/pZ est un ensemble (plus particulièrement un groupe) de plusieurs ensembles d'entiers relatifs.
Le reste de la division euclidienne de 0 par p est 0
Le reste de la division euclidienne de p par p est 0
Le reste de la division euclidienne de p+p=2p par p est 0
...
Cet ensemble d'entiers dont le reste est 0 dans la divison euclidienne par p forme un premier élément de Z/pZ (qu'on note 0 pour simplifier)
Donc dans le groupe Z/pZ : 0=p=-p=2p...
De la même manière :
Le reste de la division euclidienne de 1 par p est 1 (en supposant p>1)
Le reste de la division euclidienne de p+1 par p est 1
Le reste de la division euclidienne de 2p+1 par p est 1
...
Cet ensemble d'entiers dont le reste est 1 dans la divison euclidienne par p forme un deuxième élément de l'ensemble Z/pZ (qu'on note 1 pour simplifier)
On continue comme ca jusqu'à p-1 puisqu'on a vu que p=0 dans notre ensemble Z/pZ.
On a donc Z/pZ={0,1,2,...,p-1} où 0,1,2,... et p-1 ne sont pas des nombres mais des ensembles de nombres qui ont le meme reste dans la division euclidienne par p.
On montre ensuite que si a est premier avec p, alors les ensembles :
{0,1,2,...,p-1} et {a.0,a.1,a.2,...,a.(p-1)} sont égaux.
Si ces deux ensembles sont égaux, la multiplication de tous leurs membres propres entre eux donne un meme nombre (en fait un meme ensemble de nombres mais bon...) pour chaque ensemble.
On a donc les égalités que j'ai écrite plus haut jusqu'à obtenir
a^(p-1)=1
Comme on est dans un ensemble modulo p (c'est à dire que a+kp=a où k appartient à Z) alors on peut écrire a^(p-1) congru à 1 modulo p.
CQFD
Ahhhh j'crois que j'ai pigé le coup des Z/pZ.
Merci bien !
