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[Arithmétique]Petit théorème de Fermat



  1. #1
    kidnapped

    [Arithmétique]Petit théorème de Fermat


    ------

    Bonjour, je voudrais qu'on me propose une démonstration du petit théorème de ermat, j'en ai trouvé beaucoup sur http://fr.wikipedia.org/wiki/D%C3%A9...A8me_de_Fermat

    mais je ne les ai pas très bien comprises particulièrement celle avec le binôme de Newton que je maîtrise mal .
    Merci

    -----
    Le Beau est toujours bizarre.Baudelaire

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  3. #2
    jobherzt

    Re : [Arithmétique]Petit théorème de Fermat

    qu'est ce qui te gene exactement dans la demo avec les coefficients binomiaux ?

    elle consiste simplement a dire que si p est premier, si tu developpe , alors tous les termes vont etre des mutliples de p sauf et . tu peux regarder sur quelques exemple pour t'en convaincre :

    --> 2ab est bien un multiple de 2
    --> 3a^2b et 3ab^2 sont bien des multiples de 3

    et ainsi de suite.

  4. #3
    invite43219988

    Re : [Arithmétique]Petit théorème de Fermat

    On se place dans Z/pZ

    On montre que si a est premier avec p, alors
    {0,1,2,...,p-1}={a.0,a.1,a.2,...,a.(p-1)}
    Donc



    On simplifie par :


    Puisqu'on est dans Z/pZ : a^(-1) est congru à 1 modulo (p)

    Pour démontrer l'égalité des deux ensembles, on peut montrer que l'application h: x->a.x de Gp dans G est bijective (et que son image est bien dans Gp)
    Dernière modification par invite43219988 ; 11/07/2007 à 19h31.

  5. #4
    anonymus

    Re : [Arithmétique]Petit théorème de Fermat

    Citation Envoyé par Ganash Voir le message
    On se place dans Z/pZ
    Dès la première phrase je suis perdu
    En Amérique, il faut d'abord avoir le sucre, ensuite on a le pouvoir et ensuite on a la femme.

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    invite43219988

    Re : [Arithmétique]Petit théorème de Fermat

    Pour faire le plus simple possible :
    Z/pZ est un ensemble (plus particulièrement un groupe) de plusieurs ensembles d'entiers relatifs.
    Le reste de la division euclidienne de 0 par p est 0
    Le reste de la division euclidienne de p par p est 0
    Le reste de la division euclidienne de p+p=2p par p est 0
    ...
    Cet ensemble d'entiers dont le reste est 0 dans la divison euclidienne par p forme un premier élément de Z/pZ (qu'on note 0 pour simplifier)
    Donc dans le groupe Z/pZ : 0=p=-p=2p...

    De la même manière :
    Le reste de la division euclidienne de 1 par p est 1 (en supposant p>1)
    Le reste de la division euclidienne de p+1 par p est 1
    Le reste de la division euclidienne de 2p+1 par p est 1
    ...
    Cet ensemble d'entiers dont le reste est 1 dans la divison euclidienne par p forme un deuxième élément de l'ensemble Z/pZ (qu'on note 1 pour simplifier)
    On continue comme ca jusqu'à p-1 puisqu'on a vu que p=0 dans notre ensemble Z/pZ.

    On a donc Z/pZ={0,1,2,...,p-1} où 0,1,2,... et p-1 ne sont pas des nombres mais des ensembles de nombres qui ont le meme reste dans la division euclidienne par p.

    On montre ensuite que si a est premier avec p, alors les ensembles :
    {0,1,2,...,p-1} et {a.0,a.1,a.2,...,a.(p-1)} sont égaux.

    Si ces deux ensembles sont égaux, la multiplication de tous leurs membres propres entre eux donne un meme nombre (en fait un meme ensemble de nombres mais bon...) pour chaque ensemble.

    On a donc les égalités que j'ai écrite plus haut jusqu'à obtenir
    a^(p-1)=1
    Comme on est dans un ensemble modulo p (c'est à dire que a+kp=a où k appartient à Z) alors on peut écrire a^(p-1) congru à 1 modulo p.

    CQFD

  8. #6
    anonymus

    Re : [Arithmétique]Petit théorème de Fermat

    Ahhhh j'crois que j'ai pigé le coup des Z/pZ.
    Merci bien !
    En Amérique, il faut d'abord avoir le sucre, ensuite on a le pouvoir et ensuite on a la femme.

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