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Généralisation du grand théorème de Fermat



  1. #1
    breukin

    Généralisation du grand théorème de Fermat


    ------

    Que sait-on du nombre N(n,p) de solutions entières strictement positives de l'équation :
    x1n+x2n+...xpn = x0n

    Le grand théorème de Fermat dit que N(n,2)=0 si n>2

    En revanche, N(3,3)>0 puisque 33+43+53 = 63

    -----

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  3. #2
    rvz

    Re : Généralisation du grand théorème de Fermat

    Bonjour,

    Je vais pas faire beaucoup avancer le schmilblick, mais je suis sûr d'avoir déjà vu ça un jour. Je pense que des gens se sont déjà posés cette question (et je pense aussi qu'ils n'ont pas du aller très loin, mais là, j'avoue que c'est plus de l'ordre de l'intuition qu'autre chose).

    __
    rvz, inutile ?

  4. #3
    breukin

    Re : Généralisation du grand théorème de Fermat

    Une petite correction pour que le problème soit plus intéressant : "Que sait-on du nombre N(n,p) de solutions entières strictement positives et indépendantes"
    Car sinon, dès qu'il y en a une, il y en a une infinité par homothétie.

  5. #4
    zinia

    Re : Généralisation du grand théorème de Fermat

    Bonjour,

    Je crois qu'il existe une conjecture affirmant qu'il existe une solution d'ordre n, c'est à dire que l'on peut trouver (n+1) entiers positifs
    tels que .
    Une autre conjecture dite d'Euler généralisait le grand théorème de Fermat en affirmant qu'on ne pouvait pas obtenir cette relation avec un nombre de termes inférieurs à n+1. Elle a été contredite par le contre exemple du quintuplet 27,84,110,133,144 pour la puissance 5.
    La première reste, de ce que j'en sais, ouverte...

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    leg

    Re : Généralisation du grand théorème de Fermat

    bonjour.
    c'est vrai que la question n'a toujours pas de réponse.
    de même celle ci à ma connaissance:

    quelque soit le nombres d'entiers à l'exposant N il est toujours à correspondance carrée ou cubique
    c'est à dire qu'il existerait un facteur K entier , et 3 cubes somme d'un cube, qui corresponde par exemple au cinq entiers à la puissance 5 que Zinia vient de citer,

    où encore le quarté de N=4 il existe un triplet pythagoricien qui est solution de ce quarté

    autre exemple avec le triplet de cubes = un cube
    comme : 7,14,17 et 20 correspond au triplet 3,4 et 5 avec le facteur K = 20(4²) où encore 20(12²) + 20(16²)= 20(20)²

    les 6 entiers 4.5.6.7.9.11 à la puissance 5 somme de 12^5 ont comme égalité le triplet 6,8,10 et 12 exposant 3 et k =144 ou avec K=144(2^3) et le triplet 3.4.5 et 6^3

    que sait on la dessus?

  8. #6
    Gaétan Mbama

    Re : Généralisation du grand théorème de Fermat

    Salut

    Que sait-on du nombre N(n,p) de solutions entières strictement positives de l'équation :
    x1n+x2n+...xpn = x0n

    Le grand théorème de Fermat dit que N(n,2)=0 si n>2


    Il me semble que l'on peut arriver à répondre à cette question géométriquement en supposant x1, x2,...xp comme étant les côtés d'un polygone irrégulier.

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  10. #7
    leg

    Re : Généralisation du grand théorème de Fermat

    Citation Envoyé par Gaétan Mbama Voir le message
    Salut

    Il me semble que l'on peut arriver à répondre à cette question géométriquement en supposant x1, x2,...xp comme étant les côtés d'un polygone irrégulier.
    salut gaétan
    quelle différence avec les polygones réguliers?
    car sur mon dico, je ne trouve pas de renseignement sur les Poly irré.

  11. #8
    Gaétan Mbama

    Re : Généralisation du grand théorème de Fermat

    quelle différence avec les polygones réguliers?
    car sur mon dico, je ne trouve pas de renseignement sur les Poly irré.


    Salut leg!

    Un polygone irrégulier est un polygone dont les côtés sont de mesure différente.

    Donc, si on considère les p nombres entiers distincts et non nuls x1, x2,...,xp comme étant les côtés d'un polygone irrégulier, l'équation x1n+x2n+...+xpn=xon peut se ramener à un système de (p-1) équations de Fermat
    x1n+x2n=z1n
    z1n+x3n=z2n
    ...........
    zp-2n+xpn=xon


    Ce système d'équations peut facilement se resoudre géométriquement.

  12. #9
    erik

    Re : Généralisation du grand théorème de Fermat

    Citation Envoyé par Gaétan Mbama Voir le message
    [B]l'équation x1n+x2n+...+xpn=xon peut se ramener à un système de (p-1) équations de Fermat
    x1n+x2n=z1n
    z1n+x3n=z2n
    ...........
    zp-2n+xpn=xon

    Non absolument pas, la preuve :

    Et tu ne trouveras jamais de tel que




  13. #10
    leg

    Re : Généralisation du grand théorème de Fermat

    Citation Envoyé par erik Voir le message
    Non absolument pas, la preuve :

    Et tu ne trouveras jamais de tel que
    bonjour Erik /gaétan
    "citation:
    peut se ramener à un système de (p-1) équations de Fermat"

    peut être que gaétan entend par là pour (p-1) > 3
    non ...?

  14. #11
    Pole

    Re : Généralisation du grand théorème de Fermat

    On peut ne pas se limiter aux nombres entiers sauf pour le dernier.


    Sauf que se limiter aux entiers en géométrie peut poser beaucoup de problème...

    Pole.
    Pour comprendre la récursivité croisée, il faut comprendre les arbres d'appels. Et vice versa.

  15. #12
    Gaétan Mbama

    Re : Généralisation du grand théorème de Fermat

    Citation d'érik

    Non absolument pas, la preuve :

    Et tu ne trouveras jamais de tel que





    Salut Erik

    z1 et z2 sont des variables fictives.

    dans l'exemple que tu as choisi, remplace z2 par x0 c'est-à-dire 6 et tu trouveras que tu as tort d'affirmer ce que tu as affirmé.

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  17. #13
    Gaétan Mbama

    Re : Généralisation du grand théorème de Fermat

    Citation de érik
    Non absolument pas, la preuve :

    Et tu ne trouveras jamais de tel que





    Salut érik

    z1 et z2 sont des variables fictives qui disparaîtront pendant la résolution.

    Dans l'exemple que tu as choisi, tu as mal posé les équations. Dans la deuxième équation remplaces z2 par x0 c'est-à-dire 6 et tu verras.

  18. #14
    erik

    Re : Généralisation du grand théorème de Fermat

    z1 et z2 sont des variables fictives
    En mathématiques le concept de variable fictive n'existe pas.

  19. #15
    zinia

    Re : Généralisation du grand théorème de Fermat

    Citation Envoyé par erik Voir le message
    En mathématiques le concept de variable fictive n'existe pas.
    Ah vous parlez des entiers fictifs comme

  20. #16
    fritzlm

    Re : Généralisation du grand théorème de Fermat

    C'est reparti pour un tour...

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