De l'équation de Pythagore à celle de Fermat: La généralisation

[invite54cf07b0]

Salut à tous!

Comment peut-on obtenir l'équation de Fermat à partir de celle de Pythagore?

C'est le sujet qui est traité dans le pdf ci-joint.
Amicalement!
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[invite455504f8]

euh...tu penses vraiment avoir démontré le théorème de Fermat?

[erik]

Errare Humanum Est, Perseverare Diabolicum Est

Ce que tu montres c'est que si on a alors on ne peux pas avoir .

C'est bien, mais pas suffisant. Mais ce n'est pas une démonstration du théorème de Fermat. car tu met une condition sur le triplet (a,b,c) (qu'il soit un triplet de Pythagore).

Le théorème de Fermat dit qu'il n'y'a pas de triplet (a,b,c) entiers tel que quelque soit (a,b,c) (en dehors des cas triviaux)

[invitedf667161]

Rebonjour Gaetan.

J'espère que ton sujet ne va pas dégénérer comme la dernière fois. Je n'ai pas encore jeté un oeil sur ton pdf, je le ferai si le temps ne me manque pas.

Pour Erik, ta formulation du théorème de Fermat me parait maladroite tout de même !

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite9c9b9968]

Salut,

Juste comme ça : dès ta présentation de la deuxième approche, il y a un souci évident qui apparaît : en effet l'équivalence n'est pas respectée du fait que tu passes à des puissances non-entières (définis- moi, par exemple, (-1)^1/2 ne serait-ce que dans le cadre du corps des réels...)

[invite4793db90]

Comment peut-on obtenir l'équation de Fermat à partir de celle de Pythagore?

Trop facile : il suffit de changer les "2" en "n" !

[invite6acfe16b]

Trop facile : il suffit de changer les "2" en "n" !

Trop fort !

[invite54cf07b0]

euh...tu penses vraiment avoir démontré le théorème de Fermat?


Heuu...je ne fais que partager le fruit d'une réflexion.

Je constate tout simplement que si l'on essaie de définir les triplets de Fermat à partir des triplets de Pythagore, alors on se rend compte que ceux-ci ne jamais être des triplets d'entiers pour tout n>2.

Peut-être que je me trompes!

[invite54cf07b0]

Salut,

Juste comme ça : dès ta présentation de la deuxième approche, il y a un souci évident qui apparaît : en effet l'équivalence n'est pas respectée du fait que tu passes à des puissances non-entières (définis- moi, par exemple, (-1)^1/2 ne serait-ce que dans le cadre du corps des réels...)


Dans le problème considéré, x, y et z sont des nombres distincts strictement positifs. Et ton exemple sort du cadre du problème.

T-ai-je bien compris?

[invite54cf07b0]

Salut Erik

Ce que tu montres c'est que si on a alors on ne peux pas avoir .

Pardon, je ne te saisie pas. qu'est ce que au juste tu veux dire par là?

[invite54cf07b0]

J'espère que ton sujet ne va pas dégénérer comme la dernière fois. Je n'ai pas encore jeté un oeil sur ton pdf, je le ferai si le temps ne me manque pas.

Pour Erik, ta formulation du théorème de Fermat me parait maladroite tout de même !

Salut GuYem

Si la discussion avait dégénérée la dernière fois, cela ne venait pas de moi. Ici, j'interviens en POST SCRIPTUM et j'éssaies de montrer que si l'on l'intègre l'équation de Fermat dans le contexte de Pythagore on peut montrer sans difficultés que l'on ne peut pas trouver de triplet d'entiers qui puissent vérifier l'équation de Fermat pour tout n>2.

Pour ce qui est de ton observation sur ce que Erik a dit, je suis d'accord.

[invitedf667161]

Erik veut dire que tu as montré la chose suivante :

Si a, b et c sont trois entiers et n un entier plus grand que 3 avec , alors .


EDIT : pour ton prochain post, je sais bien que ce n'est pas de ta faute si ça a dégénéré.

[invite54cf07b0]

Erik veut dire que tu as montré la chose suivante :

Si a, b et c sont trois entiers et n un entier plus grand que 3 avec , alors .


Cela rejoins la proriété qui stipule que un même triplet ne peut pas vérifier l'équation de Fermat pour deux exposants différents.
Non?

[invite9c9b9968]

Dans le problème considéré, x, y et z sont des nombres distincts strictement positifs. Et ton exemple sort du cadre du problème.

T-ai-je bien compris?

Ce n'est écrit nul part dans ton exposé, et de plus le théorème de Fermat se situe dans , donc mon exemple est parfaitement valable, et invalide donc toute la suite de ton raisonnement.

[invite6de5f0ac]

Ce n'est écrit nul part dans ton exposé, et de plus le théorème de Fermat se situe dans , donc mon exemple est parfaitement valable, et invalide donc toute la suite de ton raisonnement.

Bonjour,

Je me mêle de ce qui ne me regarde pas, mais je pense qu'à son époque Fermat n'avait en tête que les entiers positifs. Même s'il était certainement capable de généraliser. Faudrait lui demander... (et au passage tant qu'on le tient, lui demander sa démonstration, en lui donnant assez de papier cette fois-ci).

-- françois

[invite5fb20d44]

A Gwyddon : Je n'ai pas souvenir que le théorème de Fermat parle de solutions dans Z ou N, mais il est en tous cas réductible à l'étude sur N, donc, en définitive, ça n'infirme pas la démarche de Gaétan.

A Gaétan : Concernant le document, il est passablement flou. Ce que j'ai réussi à en comprendre, c'est que si (x, y, z) est une solution de Fermat, alors elle ne peut pas provenir d'un triplet pythagoricien. C'est loin d'être le théorème de Fermat. Très loin.

[invite9c9b9968]

Ok, alors objection rejetée

Sinon si l'on poursuit le chemin, je suis d'accord zpz avec ton analyse de la situation. Mais ceci dit, cette histoire d'équivalence me chiffonne beaucoup (et c'est ce qui ressort, en dernière analyse, de ta remarque).

[inviteeac53e14]

Salut!

Bon, déjà je ne connais pas la propriété 1 mais admettons qu'elle soit vraie.
A un moment tu écris qu'il faut qu'il existe X, Y et Z tel que :
a = X^m
b = Y^m
c = Z^m

ce qui est faux dans la mesure où, en considérant ce que tu as écrit avant, il suffit que a b et c soient des puissances de n : rien n'impose que X Y et Z aient le même exposant. Par conséquent, ce serait plutôt : il faut qu'il existe (X,Y,Z) et (m, p, o) (qui sont des multiples de n)tel que etc. C'est totalement différent et cela rend caduque la suite de la démo.

[invite54cf07b0]

Bon, déjà je ne connais pas la propriété 1 mais admettons qu'elle soit vraie.
A un moment tu écris qu'il faut qu'il existe X, Y et Z tel que :
a = X^m
b = Y^m
c = Z^m

ce qui est faux dans la mesure où, en considérant ce que tu as écrit avant, il suffit que a b et c soient des puissances de n : rien n'impose que X Y et Z aient le même exposant. Par conséquent, ce serait plutôt : il faut qu'il existe (X,Y,Z) et (m, p, o) (qui sont des multiples de n)tel que etc. C'est totalement différent et cela rend caduque la suite de la démo.


Salut Bloud

Effectivement rien n'impose que X, Y et Z aient le même exposant. Mais, pour rester dans l'esprit de l'équation de Fermat qui impose que X, Y et Z soient élévés à la même puissance, il faut, après avoir posé m=k₁n, p=k₂n et o=k₃n, ne considérer que le cas où k₁=k₂=k₃=k
Je me trompe?

[invite54cf07b0]

A Gaétan : Concernant le document, il est passablement flou. Ce que j'ai réussi à en comprendre, c'est que si (x, y, z) est une solution de Fermat, alors elle ne peut pas provenir d'un triplet pythagoricien. C'est loin d'être le théorème de Fermat. Très loin.

salut pvz

Il y' a un rapport entre les triplets de Fermat et les triplets de Pythagore sinon, comment expliquer le fait que lorsque dans l'équation de Fermat on prend n=2, (x,y,z) devient un triplet pythagoricien. J'affirme que ce rapport existe bel et bien et il est possible de passer allègrement d'un triplet pythagoricien à un triplet de Fermat et inversement.

Il y'a bien plus,dans l'équation de Fermat, à chaque exposant correspond un triplet et un seul et inversement: C'est la propriété 1

Amicalement!

[invite5fb20d44]

salut pvz

Qui ça ?

Il y' a un rapport entre les triplets de Fermat et les triplets de Pythagore sinon, comment expliquer le fait que lorsque dans l'équation de Fermat on prend n=2, (x,y,z) devient un triplet pythagoricien.

Qu'il y ait "un rapport", personne n'en doute, les deux équations sont effectivement construites sur le même modèle. Mais "un rapport" n'est pas une notion mathématique. C'est bien pour ça que tu es obligé d'expliciter ce rapport, en proposant une construction.

J'affirme que ce rapport existe bel et bien et il est possible de passer allègrement d'un triplet pythagoricien à un triplet de Fermat et inversement.

S'il suffit d'affirmer, c'est que je n'ai rien compris aux mathématiques. Je te propose l'équation X³ = 8 dont l'unique solution est 2. Déduis m'en une solution de l'équation X² = 8 s'il te plaît.

Il y'a bien plus,dans l'équation de Fermat, à chaque exposant correspond un triplet et un seul et inversement: C'est la propriété 1

Un triplet de quoi ? Je ne comprends pas.

Amicalement!

Pareil !

[invite9c9b9968]

Au fait ta propriété 1, j'aimerais en avoir une démo...

[invite54cf07b0]

Qui ça ?

zpz, autant pour moi!

Qu'il y ait "un rapport", personne n'en doute, les deux équations sont effectivement construites sur le même modèle. Mais "un rapport" n'est pas une notion mathématique. C'est bien pour ça que tu es obligé d'expliciter ce rapport, en proposant une construction.


Tu en conviens que l'équation de Fermat dérive de l'équation de Pythagore et inversement.

Si le triplet (x,y,z) vérifie l'équation de Fermat, alors le triplet (a=x^n/2,b=y^n/2,c=z^n/2) vérifie bien l'équation de Pythagore.

D'autre part si le triplet (a,b,c) vérifie l'équation de Pythagore, alors le triplet (x=a^2/n,y=b^2/n,z=c^2/n) vérifie bien l'équation de Fermat.

Voila le rapport explicité!

S'il suffit d'affirmer, c'est que je n'ai rien compris aux mathématiques. Je te propose l'équation X³ = 8 dont l'unique solution est 2. Déduis m'en une solution de l'équation X² = 8 s'il te plaît.

Euuh....x=2^3/2

[invite5fb20d44]

Au fait ta propriété 1, j'aimerais en avoir une démo...

Je verrais bien ça : suppose avec x, y, z entiers naturels non nuls, et .

Soit m>n. Alors
.

[invite54cf07b0]

Un triplet de quoi ? Je ne comprends pas.


Un triplet de nombres distincts et strictement positifs

[invite54cf07b0]

Au fait ta propriété 1, j'aimerais en avoir une démo...:

Suppose que le triplet (x,y,z) vérifie en même temps les deux équations suivantes
xⁿ+yⁿ=zⁿ et x^p+y^p=z^p avec n différent de p.

De ces deux équations tires z et égales les deux expressions...la suite est très facile!

[invite5fb20d44]

Tu en conviens que l'équation de Fermat dérive de l'équation de Pythagore et inversement.

Certainement pas. Si on parle de solutions réelles positives, alors résoudre l'une revient à résoudre l'autre. Mais ici il est question d'entiers. Tu décides de faire un tour par les réels, avec x^2/n, puis tu décides, nul ne sait pourquoi, que ces réels se doivent d'être des entiers.

Si le triplet (x,y,z) vérifie l'équation de Fermat, alors le triplet (a=x^n/2,b=y^n/2,c=z^n/2) vérifie bien l'équation de Pythagore.

D'autre part si le triplet (a,b,c) vérifie l'équation de Pythagore, alors le triplet (x=a^2/n,y=b^2/n,z=c^2/n) vérifie bien l'équation de Fermat.

Voila le rapport explicité!

Aucun doute sur ça. Sauf qu'ensuite tu affirmes que le triplet (a, b, c) est un triplet d'entiers. C'est là le problème.

Je te propose l'équation X³ = 8 dont l'unique solution est 2. Déduis m'en une solution de l'équation X² = 8 s'il te plaît.

Euuh....x=2^3/2

Et maintenant appliques-y ta méthode. Si tu le fais consciencieusement tu vas pouvoir démontrer que 2 n'existe pas. C'est intéressant.

Je me répète : le problème de ta démarche est aussi celui de ton texte, c'est flou. Si tu pouvais nous reformuler tout ça d'une manière plus synthétique, en détaillant bien les étapes et la structure, en étant rigoureux sur les définitions et les hypothèses, il nous sera peut-être possible de discuter des idées qui s'y trouvent.

En l'état, elles sont noyées dans un enchaînement d'affirmations difficile à comprendre.

Merci de bien vouloir faire cet effort.

Cordialement.

[inviteeac53e14]

Salut Bloud

Effectivement rien n'impose que X, Y et Z aient le même exposant. Mais, pour rester dans l'esprit de l'équation de Fermat qui impose que X, Y et Z soient élévés à la même puissance, il faut, après avoir posé m=k₁n, p=k₂n et o=k₃n, ne considérer que le cas où k₁=k₂=k₃=k
Je me trompe?

Salut, je ne vois pas trop pourquoi. Rien dans ta démonstration n'impose cela.
Toutefois, je tiens juste à rajoueter que même si ta démosntration est juste, tu auras juste démontrer que : (on supose n>2)
Si
aⁿ + bⁿ = cⁿ alors a² + b² ne peut être égal à c². Donc par contraposée, on aurait si (a, b, c) est un triplet pythagoricien alors le théorème de Fermat est vrai pour (a, b, c). Donc, tu n'aurais de toutes les façons pas démontré le grand théorème de Fermat, mais tu l'aurais démontré pour le cas bien particulier où les entiers considérés constituent un triplet pythagoricien. On est donc bien loin de tous les entiers (car le grand théorème de fermat est valable pour tous les entiers.

EDIT : quoiqu'il en soit, je n'ai toujours pas compris ton "pour rester dans l'esprit de l'équation de Fermat". Je m'en fiche de rester ou non dans l'esprit d'une équation (ne vois rien d'agressif dans ce propos). Je veux juste une démonstration juste. Le fait est que rien n'impose d'avoir le même exposant quand on lit ton développement...

[inviteeac53e14]

Maintenant que j'y pense, le résultat de ta démo est directement donné par ta propriété 1. Il suffit donc de la démontrer pour tomber sur ta conclusion. Tu tournes un peu en rond...
Je suis assez d'accord avec les autres, reformule ta démo, c'est trop flou.

Dimitri.

[invite54cf07b0]

Certainement pas. Si on parle de solutions réelles positives, alors résoudre l'une revient à résoudre l'autre. Mais ici il est question d'entiers. Tu décides de faire un tour par les réels, avec x^2/n, puis tu décides, nul ne sait pourquoi, que ces réels se doivent d'être des entiers.

Tu en conviens, les deux équations admettent des solutions.
Mais l'équation de Pythagore admet des solutions tant entières que non entières.
Celle de Fermat, par contre, n'admet que des solutions non entières. Vrai ou faux? C'est ça la question!


Sauf qu'ensuite tu affirmes que le triplet (a, b, c) est un triplet d'entiers. C'est là le problème.

Les triplets de Pythagore (a,b,c) peuvent être des triplets de non entiers. Ce cas ne pose aucun soucis car les triplets de Fermat (x=a^2/n,y=b^2/n,z=c^2/n) ne seront évidemment pas des triplets d'entiers. Voila pourquoi on se focalise sur le cas (a,b,c) entiers.


Et maintenant appliques-y ta méthode. Si tu le fais consciencieusement tu vas pouvoir démontrer que 2 n'existe pas. C'est intéressant.

Je ne vois pas trop bien là où tu veux en venir!

Je me répète : le problème de ta démarche est aussi celui de ton texte, c'est flou. Si tu pouvais nous reformuler tout ça d'une manière plus synthétique, en détaillant bien les étapes et la structure, en étant rigoureux sur les définitions et les hypothèses, il nous sera peut-être possible de discuter des idées qui s'y trouvent.

Okay!Ben voila

1ère étape:
Si (a,b,c) est un triplet d'entiers qui vérifient l'équation de Pythagore
a²+b²=c² (1)

alors l'égalité suivante est vraie
(a^2/n)^n+(b^2/n)^2=(c^2/n)^n

Si on pose x=a^2/n, y=b^2/n et z=c^2/n

on obtient bien l'équation de Fermat

xⁿ+yⁿ=zⁿ (2)

On est d'accord?

Etape 2:
Fermat affirme que les triplets (x,y,z) solutions de son équation ne peuvent pas être des triplets d'entiers pour tout n>2.

Etape 3:

Essayons de raisonner et dites-moi, svp:

Si a, b et c sont des entiers est ce que a^2/n, b^2/n et c^2/n peuvent l'être également?

Réponse:
Oui, quand n=1 ou n=2 c'est-à-dire quand n est un diviseur de 2.
Mais, lorsque n n'est pas diviseur de 2 c'est-à-dire, lorsque n>2 (la fameuse condition!), il faudra que a, b et c soient trois produits de même puissance m=kn (k=1,2,3...) c'est-à-dire que
a=X^m, b=Y^m et c=Z^m

ce qui nous donne l'équation suivante:

(X^m)²+(Y^m)²=(Z^m)²

On est d'accord?

Donc, pour donner la preuve du GTF il va falloir prouver que le triplet (X^m,Y^m,Z^m) ne peut pas constituer les côtés d'un triangle rectangle pour tout m>=2.

L'équation ci-dessus est une équation de Pythagore qui peut aussi s'écrire
(X²)^m+(Y²)^m=(Z²)^m (3)

Et en vertu de la propriété 1, on prouve que l'équation (3), qui est une équation de Fermat, a pour solution le triplet (X²,Y²,Z²) qui la vérifie dans l'unique cas où m=1.
Donc, le triplet (X^m,Y^m,Z^m) ne peut pas constituer les côtés d'un triangle rectangle pour tout m>=2.