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De l'équation de Pythagore à celle de Fermat: La généralisation



  1. #61
    Gaétan Mbama

    Re : De l'équation de Pythagore à celle de Fermat: La généralisation


    ------

    Si (a,b,c) est un triplet de Pythagore, alors pour que le triplet (x=a^2/n,y=b^2/n,z=c^2/n) est un triplet de Fermat dans la mesure où il vérifie l'égalité de Fermat xn+yn=zn.

    Pardon, il y'a une coquille.Il faut plutôt Lire:

    Si (a,b,c) est un triplet de Pythagore, alors le triplet (x=a^2/n,y=b^2/n,z=c^2/n) est un triplet de Fermat dans la mesure où il vérifie l'égalité de Fermat xn+yn=zn.

    -----

  2. #62
    rvz

    Re : De l'équation de Pythagore à celle de Fermat: La généralisation

    Citation Envoyé par Gaétan Mbama Voir le message
    Je pense que si la dernière fois la discussion avait dégénérée, c’est par ce que la modération n’avait pas su canaliser le débat.

    Un modérateur, dans un débat, est celui là qui doit être au dessus de la mêlée pour, de temps en temps, recadrer le sujet, sans parti pris, de manière objective.

    Il y’a débordement dans un débat lorsque certains intervenants à court d’arguments usent des propos discourtois (qui frisent l’injure) à l’endroit des autres qui soutiennent un point de vue contraire au leur. C’est à ce niveau, précisément, que doit intervenir la modération (avec ses écrits en vert) non pas pour fermer un sujet qui passionne mais plutôt pour ramener à l’ordre les fauteurs de trouble.
    Cordialement !

    POST-SRIPTUM : « Je sais que cela doit être vrai, pourquoi devrais-je le démontrer ? » (Henri Poincaré).
    Re Bonjour,

    Je doute qu'il soit de bon ton de s'attaquer aux modérateurs, qui j'en suis sûr, ne comptent pas leurs heures pour faire de ce forum un lieu de discussion enrichissant (d'ailleurs, j'en profite pour saluer leur travail).

    Il est probable que ce message me vise précisément. Je tenais juste à mentionner qu'il y a déjà eu un débat similaire précédemment où tu avais manifestement détourné l'énoncé du théorème de Fermat (Cf les messages de Martini et moi-même dans ce précédet thread).

    Par ailleurs, j'aimerais que tu m'expliques ce post scriptum : Veux tu dire qu'on peut faire des maths sans démonstration ? Ca me semble très dangereux. Ce qui fait la force des maths, justement, c'est que tout énoncé n'est qu'une conjecture tant qu'il n'a pas été démontré. Cela permet d'avoir une construction claire, universelle, incontestable où tout énoncé a un statut précis.

    Une démonstration est selon moi une suite logique indéniable et irréfutable qui part d'axiomes pour aboutir à un résultat.

    Notamment, il est étonnant que des matheux soient plongés dans des débats mathématiques sans fin.

    __
    rvz

  3. #63
    Gwyddon

    Re : De l'équation de Pythagore à celle de Fermat: La généralisation

    Citation Envoyé par Gaétan Mbama Voir le message
    Sky, un forum c'est un lieu de partage des idées et si des affinités se créent au niveau des idées ça peut donner naissance à des collaborations fructueuses sur le plan de la recherche. Refléchis-y et essaie d'être receptif.
    Amicalement!

    Je vais de ce pas suivre ton conseil, en te demandant justement de faire bien attention à tes propos, qui ici commencent déjà à dévier du fil. Je donne d'ailleurs cet avertissement à tous ici, pour justement éviter des dérives que l'on a déjà vues par le passé.

    Je te rappelle aussi que les critiques de la modération sont à faire en privé, pour que cela n'interfère pas avec les discussions présentes sur ce forum.

    Ensuite, comme te l'ont rappelé certains intervenants, si ton travail est un travail de recherche je ne peux que t'encourager à le soumettre à une revue scientifique.

    Enfin, je te signale qu'il existe le bouton "citer", essaye de t'en servir pour citer les gens plutôt que d'utiliser le gras, ce sera plus confortable.

    Pour la modération,

    Gwyddon
    A quitté FuturaSciences. Merci de ne PAS me contacter par MP.

  4. #64
    Gaétan Mbama

    Re : De l'équation de Pythagore à celle de Fermat: La généralisation

    ce qui est donc dit ensuite,
    il faut que: a = (Xm) , b = (Ym) et c = (Zm) pour vérifier N > 2 soit l'égalité (5) =
    Xm)² +(Ym)² =(Zm

    or en changeant d'exposant pour m >1 on vérifie toujours la même chose N = 2 ! donc les triplets sont les mêmes ! et ce triplet ne peut être différent du triplet
    a = (Xm) , b = (Ym) et c = (Zm) qui vérifie déjà N = 2;
    que se soit pour N =6 , 10 ..etc le triplet existerait déjà dans N=2, donc le couple de paramètres p et q entier, serait le même ainsi que le triangle rectangle primitif !


    Leg, regardes:
    considérons l'égalité a2+b2=c2
    Cette égalité est une équation de Fermat qui est vraie pour n=2 et également pour n=1. A bien y regarder, nous deux triplets différents (a,b,c) pour n=2 et (a2,b2,c2) pour n=1. Ces deux triplets constituent deux figures différentes: un triangle rectangle et un triangle "plat" (j'aime pas trop cette expression)

    exemple d'une autre façon:

    Nous obtenons :
    p² + q² = z² (3)
    p² - q² = x² (4)
    2pq = y² (5)

    L’égalité (3) est une équation de Pythagore qui admet pour solution primitive le triplet (p,q,Z) paramétrés de manière unique par le couple p1 et q1 tels que :

    (p1)²+(q1)²= Z
    (p1)²-(q1)²=p (6)
    2(p1)(q1)=q



    L’égalité (4) est également une équation de Pythagore qui admet pour solution primitive le triplet d’entiers (X,q,p) paramétrés de manière unique par le couple p2 et q2 tels que :
    (p2)²+(q2)²=p
    (p2)²-(q2)²=X (7)
    2(p2)(q2)=q

    Or, 2(p1)(q1)=q et 2(p2)(q2)=q alors, p1=p2=p’ et q1=q2=q’ et nous obtenons :

    deux triplets (p,q,Z) et (X,q,p) donnés par un même couple de paramètres p’ et q’: c’est impossible !

    l’égalité absurde X=Z à laquelle on arrive après avoir remplacé dans les deux systèmes (6) et (7) p1 et p2 par p’ puis q1 et q2 par q’.

    Donc, les égalités (3) et (4) ne peuvent pas être vraies simultanément c’est-à-dire, si p²+q² est un carré, p²-q² ne peut pas l’être. Et en généralisant, nous tirons la propriété suivante :

    Propriété : si a et b sont deux entiers de parité distincte, alors les composés a²+b² et a²-b² ne peuvent pas tous deux donner des carrés.

    ainsi si Z = sqrt p² + q² est une racine carrée entière , c'est à dire un entier naturel,
    alors X = sqrt p² - q² ne peut être un entier ! A la rigueur un réel algébrique..

    et on peut remplacer l'exposant ² par n'importe quel exposant premier, on aurra toujours la même contradiction deux solutions par addition et soustraction


    Là nous avons le cas n=4. Ce cas peut nous aider à généraliser. On procède de la manière suivante:
    En pythagorisant l'équation de fermat on obtient l'équation de Pythagore:

    (x^n/2)2+(y^n/2)2=(z^n/2)2

    La formule des triplets primitifs sera de la forme:

    p² + q² = z^n/2
    p² - q² = x^n/2
    2pq = y^n/2

    Qui peut aussi s'écrire:

    p² + q² = (z^n/4)2
    p² - q² = (x^n/4)2
    2pq = (y^n/4)2

    et en posant:

    Z= z^n/4
    X = x^n/4
    Y = y^n/4

    Nous retrouvons bien le cas n=4:

    p² + q² = Z² (3)
    p² - q² = X² (4)
    2pq = Y² (5)

    Et la suite est évidente!

  5. #65
    martini_bird

    Re : De l'équation de Pythagore à celle de Fermat: La généralisation

    Salut Gaétan,

    Je pense que si la dernière fois la discussion avait dégénérée, c’est par ce que la modération n’avait pas su canaliser le débat.

    Un modérateur, dans un débat, est celui là qui doit être au dessus de la mêlée pour, de temps en temps, recadrer le sujet, sans parti pris, de manière objective.
    Tu ne te rends pas compte que tout le monde ici (à l'exception de leg, et encore...) te dis que ton papier ne vaut rien ?

    Va soumettre ta grande découverte à une revue à comité de lecture : les bogda l'ont fait, pourquoi pas toi ?

    POST-SRIPTUM : « Je sais que cela doit être vrai, pourquoi devrais-je le démontrer ? » (Henri Poincaré).
    N'importe quoi ! Références ?

    Cette phrase est plutôt de Srimana Ramanujan à Narayana Aiyer, rapportée par son fils Subbanarayanan :
    « When it is so simple and clear to me, why should I write more steps ? »

    Ramanujan: Letters and Reminiscences, Memorial Number, Vol.I, ed. P.K. Srinivasan, Muthialpet High School, Madras, 1968
    « Angle éternel, la terre et le ciel, pour bissectrice, le vent. » Garcia Lorca

  6. #66
    Gaétan Mbama

    Re : De l'équation de Pythagore à celle de Fermat: La généralisation

    Je te rappelle aussi que les critiques de la modération sont à faire en privé, pour que cela n'interfère pas avec les discussions présentes sur ce forum.
    Pour la modération,
    Gwyddon


    Je suis d'accord avec le reglement et milles excuses pour les critiques.

  7. #67
    leg

    Re : De l'équation de Pythagore à celle de Fermat: La généralisation

    bonjour RVZ
    le but de gaetan n'est pas de faire dévier le débat, sur un sujet qui est clos.

    qu 'il mette en forme les contradiction pour N >2 et pair à la suite de son pdf ok

    mais pour qu'elle raison celle qui sont déjà indiquée ne font pas l'objet de question, à moins effectivement qu'elle sont largement significativent....
    quand bien même si je les ai misent à la place de gaétan.

    je suis entièrement d'accord pour dire qu'il faut montrer que le triplet Xm,Ym, Zm ne peut exister dans N>2 pair, même si il vérifie N =2 , car ce triplet pourrait justement être trois produits de puissances N > 2 et premier et qui n'à rien à voir avec un triplet qui ne vérifie uniquement N=2!

    c'est pour celà qu'il faut mentionné les contradiction du cas N=4 qui se généralisent
    a)
    deux solutions par addition et soustraction avec le même couple de paramètre p et q
    b)
    p² + p² = znet 2pq = yn de sorte que cela rende impossible l'égalité a) si p et q était choisis ailleur que dans les racines carrées des entiers à la puissance n concerneé!
    car on aurait :
    z^n + y^n = u^n
    et z^n - y^n =v^n
    où:
    (u^n) (v^n) doit donner (x^n)²

    il ne faut quand même pas oublier que le triangle rectangle x^n, y^n et z^n d'hypothénuse est paramètré par p et q tel que cela à été défini plus haut..ce qui est on ne peut plus absurde...non?
    et si p et q en plus, ont été choisis dans n cela fait 4 solutions avec deux couples de paramètres...

    c'est quand bien même pour cette raison que p' et q' réel ne peuvent paramètrer un triangle rectangle primitif avec des produits de puissance n! sinon le théorème de Fermat serait faut des le départ pour N =4! et la relation de pythagore ne voudrait rien dire !
    il me suffirait de prendre deux carrés quelconques par exemple, z² et y² et si x est un entier ....qu'est ce que l'on en déduit ...?
    A+

  8. #68
    leg

    Re : De l'équation de Pythagore à celle de Fermat: La généralisation

    Citation Envoyé par Gaétan Mbama Voir le message
    [B]
    Et la suite est évidente!
    et non! ce n'est pas fini car rien ne m'empèche de choisir p et q dans les racines carrée algébrique

    tu me diras qu'en mettant p et q au carré afin d'obtenir z et x qui doiven être des racines carrées de produit de puissance n remier > 2
    je retrouve la contradiction du cas N = 4.ok

    donc pas possible il ne me reste plus que la possibilité de choisir p' et q' réel
    alors on peut supposer que j'obtienne 2p'q' = sqrt yn réel algébrique
    ainsi qu'il en serait de même avec p'² + q'² = sqrt z^n réel algébrique et p'² - q'² = sqrt xnaussi réel algébrique
    et en méttant le tout au carré , on vérifie bien les deux relations .
    or on a montrer que pour tout n pair >2 c'était impossible avec p' et q' d'obtenir un triplet primitif c'est à dire pour N , N+1 , N+2..
    Or en démontrant le cas N=3 Fermat ou Euler démontre justement que c'est aussi impossible de paramétrer un tel triplet avec p' et q' réel ce qui met fin à la démonstration car sinon il existerait au minimum un triplet dans N=3
    donc pas de solution dans N, N +1, N+2 et ni dans sqrt de N+2 donc c'est générale!
    sauf érreur de raisonnement!

  9. #69
    leg

    Re : De l'équation de Pythagore à celle de Fermat: La généralisation

    Citation Envoyé par Gaétan Mbama Voir le message
    [B]

    Leg, regardes:
    considérons l'égalité a2+b2=c2
    Cette égalité est une équation de Fermat qui est vraie pour n=2 et également pour n=1. A bien y regarder, nous deux triplets différents (a,b,c) pour n=2 et (a2,b2,c2) pour n=1. Ces deux triplets constituent deux figures différentes: un triangle rectangle et un triangle "plat" (j'aime pas trop cette expression)
    ok pour N=1 et 2, mais tu es d'accord qu'un triplet qui vérifie N=2, peut être constitué de trois produits de puissances, ce que l'on vien justement de motré impossible

    Là nous avons le cas n=4. Ce cas peut nous aider à généraliser. !
    pas complètement et d'autre part, attention que tu ne peux diviser l'exposant n premier par 2 ou 4 donc ton exposant n, est par obligation un exposant pair!
    tu vois donc pourquoi il faut démontrer aussi le cas n = 3 afin d'affirmer que p' et q' réel ne peuvent paramétrer un triangle rectangle primitif! ce que Fermat est censé avoir fait, mais L.Euler lui l'a fait et c'est pour cela que je m'en sert.
    A+

  10. #70
    leg

    Re : De l'équation de Pythagore à celle de Fermat: La généralisation

    bonjour
    alors gaétan, tu en est où de tes reflexions, je pense pour ma part qu'il faut que le pdf reprenne depuis le début
    (1)
    a référence à la formule des triplet pythagoricien avec p et q qui paramètre un triangle rectangle
    (2)
    la relation entre Pythagore et l'équation de Fermat
    3)
    les différentes propriétés du cas N=4 qui se généralise a N > 2 et pair.
    3a)
    en faisant ressortir qu'un couple de réel p'' et q'' ainsi qu'un couple de réel algébriques ne peuvent paramétrer un triangle rectangle primitif qui au carrée vérifie les deux relations
    4)
    montrer que p et q ne peuvent être choisi dans les racines algébriques des entiers à la puissance n=3 (contradiction du cas N=4)
    5)
    prendre la réference de la démo d'Euler si besoin est pour montrer que p" et q" réel, ne peuvent pas paramétrer un triangle rdect

  11. #71
    leg

    Re : De l'équation de Pythagore à celle de Fermat: La généralisation

    (désolé mauvaise touche suite)
    (5)
    prendre la réference de la démo d'Euler si besoin est pour montrer que p" et q" réel, ne peuvent pas paramétrer un triangle rectangle
    (6)
    conclusion
    pas de paramétrage dans les produits de puissance c'est a dire racines carrées entières N, N+1 , N+2
    pas de paramétrage dans les racines algébriques des entiers à la puissance N+2.
    il est inutile je pense de faire référence à la démo du cas N=5 de S.G le cas N= 3 est plus que suffisant du fait que si p" et q" réel avait pu paramétrer un triangle rectangle primitif il y aurait des solutions dans N=3 mais surtout, dans ce cas , on aurait pu choisir p' et q' dans les racines algébriques !
    comme c'est le cas des racines entières de N=1 avec solution dans N=2 ....
    d'où la relation de Pythagore est bien liée à l'equation de Fermat.

  12. #72
    veysseire

    Re : De l'équation de Pythagore à celle de Fermat: La généralisation

    bonjour les gens,

    J'ai juste une petite reflexion comme ca au passage de la lecture de cette discution.


    Citation Envoyé par Gaétan Mbama Voir le message
    Il y' a un rapport entre les triplets de Fermat et les triplets de Pythagore sinon, comment expliquer le fait que lorsque dans l'équation de Fermat on prend n=2, (x,y,z) devient un triplet pythagoricien. J'affirme que ce rapport existe bel et bien et il est possible de passer allègrement d'un triplet pythagoricien à un triplet de Fermat et inversement.

    Il y'a bien plus,dans l'équation de Fermat, à chaque exposant correspond un triplet et un seul et inversement: C'est la propriété 1

    Amicalement!
    Je trouve cela étonnant, j'ai toujours cru que Pythagore était une simplification du théorème d'Al-Khachi pour des triangles rectangle.

    a ce moment là y a t-il un rapport entre Fermat et Al-Khachi ?
    Honnétement je ne pense pas.

  13. #73
    leg

    Re : De l'équation de Pythagore à celle de Fermat: La généralisation

    Citation Envoyé par Gaétan Mbama Voir le message
    [B]

    Leg, regardes:
    considérons l'égalité a2+b2=c2
    Cette égalité est une équation de Fermat qui est vraie pour n=2 et également pour n=1. A bien y regarder, nous deux triplets différents (a,b,c) pour n=2 et (a2,b2,c2) pour n=1. Ces deux triplets constituent deux figures différentes: un triangle rectangle et un triangle "plat" (j'aime pas trop cette expression)
    je vien de penser que lorsque tu défini x + y = z dans N =1,
    ou comme tu le dits ci dessusa2,b2,c2) pour n=1.
    c'est une équation de fermat pour cette puissance 1, mais c'est aussi une relation de Pythagore.
    ("donc il existe un triangle rectangle, paramétré par p" et q" réel pour x + y = z et p et q entier pour a²+ b²=c²")

    cela t'évite de dire que c'est un triangle "plat" ou encore que les deux segments x et y forme un angle de 180° sur lequel se superpose z.
    et surtout tu fais ressortir qu'un triplet n'est jamais une solution sans être mis au carré toujours la même contradiction du cas n=4!

  14. #74
    leg

    Re : De l'équation de Pythagore à celle de Fermat: La généralisation

    Citation Envoyé par leg Voir le message
    voyons martini
    tu sais trés bien que tout triplet de produit de puissance n>2 vérifie (xn)² + (yn)² = (zn
    mais aussi (x²)n+ (y²)n= (z²)npour n premier > 2 et non pas uniquement 2

    .
    bonjour à tous.
    c'est le calme plat....

    Martini est ce que ce qui est dit ci dessus dans la réponse que je t'ai faite comporterai une érreur ? je pense que si tu n'as fait de réponse , ce qui est dit est vrai. Mais ton avis me serait précieux pour ce qui va suivre.

    Mais aussi personne ne fait d'alusion ou commentaire à cette égalité que j'ai cité:

    (" En faisant aussi abstraction de l'égalité suivante un triplet de produit de puissance N >=1 donné par p' et q' réel, donnerait forcément, par exemple avec n=3
    le triplet
    x3, y3et z3

    donc (x^3)² = ((z^3) +(y^3)) ((z^3) - (y^3))
    z et y premier entre eux
    alors ((z^3) +(y^3)) = u^3
    et ((z^3) - (y^3)) =v^3
    , à nouveau deux solutions par addition et soustraction de mieux en mieux aurait dit Fermat me voila maintenant avec 4 solutions et un même couple p et q où z = x égalité absurde, tout comme l'est l'égalité absurde si y² et z² existe dans un triplet, car x = d c'est a dire p²-q² = x = p - q = d. car z - y = (p-q)² = d² différence entre z et y dans un triplet primitif..etc ")


    cette contradiction ne semble pas vous intérroger?
    et pourtant supposons vrai l'affirmation de Fermat qu'il est démontré le cas N=3 et que personne ne semble savoir comment il aurait fait , si on fait abstraction de la démo de L.Euler ?
    moi je suppose par un raisonnement bien à lui (" ou un raisonnement bien à moi ci je me trompe")

    en dehors du fait, que si cette égalité avait existé on aurait comme avec l'exposant N=2 deux autres solutions plus petites..etc

    pourtant de cette contradiction il se dégage une réalité qui n'a pu manquer a Fermat sauf érreur de raisonnement de ma part!

  15. #75
    Gaétan Mbama

    Re : De l'équation de Pythagore à celle de Fermat: La généralisation

    Salut à tous

    Un exercice simple.

    Considérons le triplet (3,4,5). Ce triplet vérifie bien l’égalité 32+42=52. C’est une solution de l’équation de Fermat pour n=2. Or, d’après Pythagore, on peut construire un triangle rectangle avec ce triplet.

    Donc implicitement, l’équation de Pythagore est en relation avec l’opération qui consiste à mettre bout à bout trois segments distincts de droite de manière à constituer une figure géométrique fermée.

    Considérons maintenant le triplet (9,16,25). Ce triplet vérifie bien l’égalité 9+16=25. C’est une solution de l’équation de Fermat pour n=1. Appliquons maintenant à ce triplet cette opération qu’on vient de définir. On trouve que la seule figure fermée qu’on peut construire avec ce triplet c’est bien le triangle plat.

    Compte tenu du fait que la seule figure géométrique fermée qu’on peut construire avec trois segments n’est autre le triangle, on en droit de penser que généralement, l’équation de Fermat définit une relation qui doit exister entre les côtés d’un triangle (je précise quelconque).

    D’autre part, en faisant le rapprochement entre l’équation de Fermat et le théorème des cosinus qui exprime la même relation, on déduit la formule suivante :
    n’est autre que l’angle entre les côtés x et y du triangle. Suivant que la valeur de cet angle est égal à 180°, 90°, supérieure ou inférieure 90° , le triangle est dit plat, rectangle, obtus ou scalène.

    Vérifions cela: Prenons le triplet ci-dessus (3,4,5).Nous avons x=3 et y=4


    Calculons avec différente valeur de n=1,2,….

    Ensuite, prenons les valeurs de n comprises entre 1 et 2
    Ainsi de suite….

  16. #76
    leg

    Re : De l'équation de Pythagore à celle de Fermat: La généralisation

    Citation Envoyé par Gaétan Mbama Voir le message
    Salut à tous

    .

    Considérons le triplet (3,4,5). Ce triplet vérifie bien l’égalité 32+42=52. C’est une solution de l’équation de Fermat pour n=2. Or, d’après Pythagore, on peut construire un triangle rectangle avec ce triplet.

    Donc implicitement, l’équation de Pythagore est en relation avec l’opération qui consiste à mettre bout à bout trois segments distincts de droite de manière à constituer une figure géométrique fermée.

    Considérons maintenant le triplet (9,16,25). Ce triplet vérifie bien l’égalité 9+16=25. C’est une solution de l’équation de Fermat pour n=1.
    a)
    gaétan tu fais toujours la même erreur de raisonnement!
    il est évident pour tout le monde qu'un triplet pythagoricien, n'est pas une solution vérifant la relation de pythagore et l'équation de Fermat si ce triplet n'est pas mis au carré!

    b)
    dans ton pdf tu dois impérativement indiquer les contradiction du cas N=4 sinon tu ne fais que dire qu'un triplet Xm, Ymet Zm
    mis AU CARRE VERIFIANT L EQUATION DE FERMAT et LA RELATION DE PYTHAGORE pour m fixé ne peut plus être un triplet pythagoricien si on change la valeur de m!
    c'est évident que ce triplet Xm, Ymet Zm mis au carré ne peut plus être un triplet puisque c'est une solution!
    est alors si m =3 ou si m=5 ou 7 au départ et non 1 comme tu l'as souligné il te faut bien montrer que c'est impossible c'est à dire qu'il te faut montrer que je change d'exposant et d'entier par exemple le triplet
    Vm, Ymet Um avec m = 3 maintenant
    puis
    Vm, Xmet Am avec m = 5 maintenant

    mis au carré j'aurai une solution dans N=6 ,N=3 et N=2
    pour m=3
    et pour m=5 : une solution dans N=10,N=5 et N=2 !

    les contradictions du cas N=4 te donne la solution générale pour N pair > 2 si tu ne redéfinis pas les propriétés et si tu fais abstraction des ces contradictions du cas N = 4, alors conclusion zéro!

    de plus regarde le post qui précède le tien tu vois bien que Fermat a réussi à démontrer le cas N = 3 par un certain raisonnement qui lui a permis de généraliser! en ayant démontré justement de façon générale le cas N pair >2

    j'ai dit que je me servai de la démo d'Euler c'est au cas où le raisonnement de Fermat serait faux et ainsi que le mien par supposition (Mais à son époque la démo est valable et générale!)

  17. #77
    Gaétan Mbama

    Re : De l'équation de Pythagore à celle de Fermat: La généralisation

    Citation Envoyé par rvz Voir le message
    Re Bonjour,
    Par ailleurs, j'aimerais que tu m'expliques ce post scriptum : Veux tu dire qu'on peut faire des maths sans démonstration ? Ca me semble très dangereux. Ce qui fait la force des maths, justement, c'est que tout énoncé n'est qu'une conjecture tant qu'il n'a pas été démontré. Cela permet d'avoir une construction claire, universelle, incontestable où tout énoncé a un statut précis.

    Une démonstration est selon moi une suite logique indéniable et irréfutable qui part d'axiomes pour aboutir à un résultat. __
    rvz
    Tout à fait d'accord!

    En effet, toute théorie mathématique comporte un résidu intuitif constitué de termes primitifs qu'on ne définit pas et des axiomes ou propositions qui peuvent aussi être des définitions (ou hypothèses) qu'on ne démontre pas. De ces propositions ou définitions on deduit toutes les vérités formelles qui s'y trouvent.

    Mais les raisons du choix de tel ou tel axiome ne sont généralement pas évoquées par ce que non justifiables. On les adopte par commodité. C'est dans ce contexte et seulement dans ce contexte qu'il faut considérer la citation que j'ai donnée dans mon post-scriptum.

    Pour revenir à notre sujet, ma démarche part d'une proposition ou définition que je donne des triplets de Fermat (x,y,z) solution de l'équation xn+yn=zn.
    Voilà comment je les définis:[INDENT]
    avec a, b et c trois nombres distincts strictement positifs vérifiant a2+b2=c2

    De cette définition, à la suite du raisonnement, je deduis que lorsque n>2, le triplet

    Symbomiquement voilà comment cela s'écrit:



    En se basant sur la définition ci-dessus, on démontre le théorème:


    Je dévine l'objection élémentaire qu'on me fera:

    Objection: x, y et z dans l'équation de Fermat ne peuvent être que des nombres abstraits.

    Réponse: Soit! Mais ceux qui affirment celà n'arrivent toujours pas à me dire pourquoi, ces nombres qu'ils considèrent au départ comme abstraits cessent de l'être et deviennent subitement des segments de droite lorsque n=2. A moins qu'ils soutiennent, en plus, l'idée que l'équation de Pythagore n'est pas l'équation de Fermat pour n=2!

    Soyons sérieux les gars! pourquoi n'arrive-t-on pas à saisir que Fermat s'était inspiré de Pythagore et que l'équation de Fermat tout comme celle de Pythagore sont toutes deux en rapport avec les triangles (scalènes, obtus, rectangles et plat)?

    POST-SRIPTUM: "Nous sommes de race divine et possédons le pouvoir de créer".
    ( Dedekind)

  18. #78
    Gaétan Mbama

    Re : De l'équation de Pythagore à celle de Fermat: La généralisation

    Citation Envoyé par Gaétan Mbama Voir le message
    Pour revenir à notre sujet, ma démarche part d'une proposition ou définition que je donne des triplets de Fermat (x,y,z) solution de l'équation xn+yn=zn.
    Voilà comment je les définis:
    Certaines formules écrites en LaTeX sont mal rendues.
    Lire:

    x=a^2/n
    y=b^2/n
    z=c^2/n

    avec a, b et c trois nombres distincts strictement positifs vérifiant a2+b2=c2

    De cette définition, à la suite du raisonnement, je deduis que lorsque n>2, le triplet (x,y,z) n'appartient pas à N3.Symbomiquement voilà comment cela s'écrit:

    Pn:{n>2}
    Qn:{xn+yn=zn/(x,y,z) appartient à N3}

    En se basant sur la définition ci-dessus, on démontre le théorème: Pn entraine nonQn

  19. #79
    leg

    Re : De l'équation de Pythagore à celle de Fermat: La généralisation

    bonsoir gaétan

    je pense que tu fais allusion à la relation de pythagore qui est en rapport avec l'équation de fermat. je pense que ceci maitenant, tout le monde l'a compris.
    et effectievement les triplets pythagoriciens sont en rapport avec les triangles
    la formule donnant tous les scalenes mesuré par des entiers ainsi que leur surface, sont justement donné par les triplets pyhtagoricien ou par trois triangles rectangle

    je pense que Fermat a fait l'inverse de tous les mathématiciens, il démontre le cas N pair de façon générale ce qui lui permet de résoudre le cas N=3 et de façon générale pour N premiers.

    en se servant pour N pair des contradiction du cas N=4

    puis ceci lui donne une propriété et un raisonnement par l'absurde , sans aller plus loing que le cas N = 3

    comment à t'il fait, alors que le théorème de gauss lui est posterieur ? et donc je suppose qu'il ne peut avoir eu besoin, des 4 lemmes servant à démontrer le cas N=4; avec sa méthode de descente infinie x² et y² sont impossible dans un triplet pythagoricien et de plus qui n'apporte pas grand chose comme propriété pour la suite.

    remarque il pouvait aussi trouver sa méthode de descente infinie en démontrant justement z² et y² tout aussi impossible dans un triplet.

    citation:
    De cette définition, à la suite du raisonnement, je deduis que lorsque n>2, le triplet (x,y,z) n'appartient pas à N^3.Symbomiquement voilà comment cela s'écrit:


    je suppose que tu veux dire par là, que du fait que ce triplet à déja vérifié N=2 il ne peut plus servir pour N^3, même si X, Y et Z étaient 3 cubes ?

    alors peut être que tu as une idée ou une précision pour la question que j'ai posée hier à 11h12, et dont personne ne semble avoir une idée?
    sauf si il y a une érreur dans mon idée sur cette question, et que c'est moi qui ne la voit pas..
    A+

  20. #80
    leg

    Re : De l'équation de Pythagore à celle de Fermat: La généralisation

    Citation Envoyé par leg Voir le message
    (" En faisant aussi abstraction de l'égalité suivante un triplet de produit de puissance N >=1 donné par p' et q' réel, donnerait forcément, par exemple avec n=3
    le triplet
    x3, y3et z3

    donc (x^3)² = ((z^3) +(y^3)) ((z^3) - (y^3))
    z et y premier entre eux
    alors ((z^3) +(y^3)) = u^3
    et ((z^3) - (y^3)) =v^3
    , à nouveau deux solutions par addition et soustraction de mieux en mieux aurait dit Fermat me voila maintenant avec 4 solutions et un même couple p et q où z = x égalité absurde, tout comme l'est l'égalité absurde si y² et z² existe dans un triplet, car x = d c'est a dire p²-q² = x = p - q = d. car z - y = (p-q)² = d² différence entre z et y dans un triplet primitif..etc ")
    bonjour
    faute de réponse , j'indique mon raisonnement en attendant que gaétan revienne.
    je fais aussi référence aux post#36,43 et 45 qui donne déjà les détail sur le cas N=4.

    p et q ont été définis dans les posts cité,

    cas N = 4:
    si dans un triplet pythagoricien, X est un carré Y ne peut en être un! (1)

    si dans un triplet pythagoricien, Z est un carré Y ne peut en être un! (2)

    si dans un triplet pythagoricien, X est un carré Z ne peut en être un! (3)

    de ces trois égalités, il devient évident qu'un couple de paramètres p' et q' ne peut donner un triplet primitif avec solution dans N = 2! propriété(A)
    note:
    (il en serait de même, pour un triplet multiple d'un primitif où p' et q' ne pourraient donner un triplet différent qui ne serait pas donné par p et q et un facteur K >1 entier non nul! K 2pq, k p²-q², et K p²+q²)

    l'égalité (2) confirme (3) et inversement
    si un triplet x²,y² et z² paramétré par p et q, soit la solution :
    (x²)² + (y²)² = (z²)²
    on obtiendrait la contradiction, = (3)
    p²-q² =(x²) et p²+q² = (z²) impossible z=x..ref # 43

    de plus on obtient proprité (B)
    (x²)² = (z²+y²)(z²-y²) impossible = (2), z² et y² ne peuvent exi!ster!(cqfd).

    (B) nous indique que z et y premiers entre eux donne deux carrés tel que (z²+y²) =u² et (z² - y²)= v² d'où
    (x²)² = (u² v²)

    de (B), on en retire une autre évidence, propriété (c)

    en effet:
    (z²+y²) =u² ainsi que (z² - y²)= v² ; est équivalent à l'égalité (3) c'est à dire que je pourrais remplacer z et y par p et q si de tel triplets existaient!
    ou encore mieux, je peux utiliser deux réels algébriques p' et q'!
    qui me donnerait: p'²+ q'² = u² et p'² - q'² = v²
    ce qui est absurde le cas N = 4 serait faux ainsi que l'égalité (3) et (2)
    donc deux réels algébriques choisis dans les racines carrée des entiers à la puissance N=2 est impossible!

    deux réels, non algébriques ne peuvent non plus éxister et me donner ces deux solutions primitives!

    c'est à dire me donner un triplet de racines carrée entières dans N=1! ni même dans N=2!

    en démontrant le cas N=4, il devient évident que p et q entiers, ne sauraient donner un triplet de produits de puissance N >2, car l'égalité (2) et (3) serait contredite!
    en remplaçant l'exposant 2, par N premier!
    exemple le triplet:
    x^3, y^3 et z^3, alors il existe, de par la propriété de Pythagore
    (x^3)² = (z3+y3)(z3-y3)
    soit:
    (x^3)² = (u3 v3)
    deux solutions par addition et soustraction comme la contradiction du cas N=4,

    (z3 + y3)= (u3)
    (z3 - y3) = (v3)
    (la démo de Euler serait fausse..etc)

    propriété (D)
    il ne peut exister deux réel algébriques p' et q' qui donne un triplet de produits cubique et plus généralement de produit de puissance première; qui seraient choisis dans les racines carrée entières ou non, de ces produits de puissance! ni deux réel!
    pas de solution quelque soit N pair >2

    propriété (D')
    il ne peut alors, exister deux réels qui aurait paramétré ces deux solutions cubiques dans N=3 uniquement;
    c'est à dire ces deux triangles rectangles mesurés par des réels algébriques;
    que sont les racines carrées des entiers x, y et z à la puissance 3, ou x y et z ne peuvent être 3 carrés parfait!

    Et de façon plus générale il en est de même pour N premier > 1!
    Fermat c'est arrété au cas N = 3 ce qui était suffisant.
    ce qui est parfaitement valable pour son époque;
    mais aussi actuellement....
    fin .
    merci des commentaire.

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