Calculer l'équation cartésienne d'une ellipse à partie de celle du cercle

[invite874dc8c9]

Bonjour ! Voilà, dans le cadre d'un TPE des les trajectoires des comète, un de mes profs m'avait expliqué comment on calculait l'équation cartésienne d'un ellipse a partir de celle du cercle. Mais j'ai oublié !
Je me souviens de ca :
pour le cercle x^2 + y^2 =r ^2
puis on pose Y=yb et X=xa, ( a étant le demi grand axe et b le demi petit axe ). Hop double affinité du cercle ce qui lui donne son aspect écrasé , c 'est à dire ellipse !
On obtient alors X^2/a^2 + Y^2/b^2 = r^2.
Or dans l'équation d'un ellipse le membre de gauche c'est 1 ?
Merci de m'aider.
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[invite3f53d719]

A mon avis, tu t'es trompé dans ton affinité: je prendrais plutôt Y=yb/r et X=xa/r, sinon tu as des problème d'unités. Et en plus, ca te permet d'avoir 1 à droite de ton équation.

Eric

[shokin]

L'aire d'un cercle est r*r*pi. L'aire d'une ellipse est r*R*pi. Tu peux t'inspirer de cette analogie.

L'équation du cercle peut s'écrire sous la forme :

(x-a)^2+(y-b)^2=r^2 (avec a et b les coordonnées respectives du centre du cercle et r le rayon du cercle) [Tu as donnée l'équation du cercle sous sa forme pythagorienne, dans le cas particulier où le centre du cercle est le point origine.]

L'équation de l'ellipse devrait peut-être s'en rapprocher :

(x-a)^2+(y-b)^2= ??

Soit une ellipse, dans le plan, passant par les points (2;4), (4;3), (2;2) et (0;3).

Le centre est le point (2;3)
Le petit rayon (vertical) est donc 1.
Le grand rayon (horizontal) est donc 2.

Il faut chercher une fonction f(x;y)=z tel dont les images des 4 points sont les mêmes. Ensuite établir un lien entre cette image et les rayons.

f(x;y)=(1(x-2))^2+(2(y-3))^2 donne une image commune aux 4 points, qui est 4, qui est le r^2 * R^2.

Donc (r(x-a))^2+(R(y-b))^2=(rR)^2.

Cette équation devrait se vérifier pour le cercle (où r=R) :

(r(x-a))^2+(r(y-b))^2=(rr)^2.

(r^2)(x-a)^2+(r^2)(y-b)^2=r^4

(x-a)^2+(y-b)^2=r^2.

Donc (r(x-a))^2+(R(y-b))^2=(rR)^2. me semble bien être l'équation d'une ellipse, que l'on peut aussi écrire :

((x-a)/R)^2+((y-b)(r))^2=rR

Mais pour arriver à un membre de gauche égal à 1, ...

Shokin