Recherche de l'équation d'une courbe à partir d'une caractéristique de ses tangentes

[invite980a875f]

Bonjour,
j'ai trouvé un problème dans mon tout nouveau livre de maths (TS), qui se trouve dans le chapitre des équa diffs, et j'ai des ennuis pour le résoudre.
Voilà l'énoncé:
Il s'agit de trouver les équations de l'ensemble des courbes qui se définissent ainsi: on trace la tangente à cette courbe en un point quelconque. Sur cette tangente, on définit un segment délimité par le point de contact tangente/courbe et le point d'intersection tangente/axe des abcisses. L'axe des y doit couper ce segment en son milieu. Ceci doit être vrai pour n'importe quel point de la courbe.
Voilà mon raisonnement:
Equa de la courbe: y=f(x)
Equa de la tangente: y1=ax+b avec a=f'(x0), x0 étant l'abcisse du point choisi sur la courbe.
J'appelle A le point choisi sur la courbe, avec A(x0;y)
J'appelle B le point d'interdection tangente/axe des abcisses, avec B(-b/a;0)
J'appelle m le milieu du segment [AB], et ses coordonnées sont:
m((x0-(b/a))/2;y/2), qu'on trouve par un simple calcul des coordonnées du milieu d'un segment.
De plus, on sait que l'abcisse de m doit être nulle puisque ce point doit se trouver sur l'axe y.
Donc x0-(b/a)=0
x0=b/a
a=b/x0
Or, on a vu que a=f'(x0), donc f'(x0)=b/x0
En généralisant pour x (je ne sais pas si on en a le droit, dites-moi si on ne peut pas), on a donc:
f'(x)=b/x, et donc f(x)=b ln(x) +cte.
Là, j'ai plusieurs problèmes:
-d'abord, est-ce que ce raisonnement est juste (ça m'étonnerait qu'il le soit entièrement!)
-je ne sais pas dans quel intervalle choisir b et la constante (R,R+...)
-j'ai essayé de tracer quelques courbes "vite fait" en prenant des valeurs arbitraires pour b et la cte, et je me rends compte que ça a l'air de marcher (le fait que le segment est coupé par l'axe y en son milieu...), mais seulement lorsque f(x) est positif. En effet, quand f(x)<0, , le segment qui va du point de contact à l'axe des x ne coupe même pas l'axe y. Est-ce qu'il faudrait alors restreindre le domaine de déf et comment?
-dernière chose, j'ai l'impression que ça peut aussi marcher pour des courbes d'équation de la forme C*e^(ax) +cte, et ce serait logique puisque l'on est dans le chapitre du livre "équa diffs" (je n'ai d'ailleurs pas trouvé d'equa diffs dans mon raisonnement!), mais je n'ai pas trouvé d'équations de ce type.
Merci à ceux qui sont allés jusqu'au bout de bien vouloir m'indiquer mes erreurs et des pistes de raisonnement.
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[invite88ef51f0]

Salut,
Dans ton raisonnement, tu dis :

Or, on a vu que a=f'(x0), donc f'(x0)=b/x0
En généralisant pour x (je ne sais pas si on en a le droit, dites-moi si on ne peut pas), on a donc:
f'(x)=b/x, et donc f(x)=b ln(x) +cte.

Mais ton b dépend de x₀, donc tu n'as pas le droit d'intégrer comme tu le fais.
Le plus simple est d'expliciter l'équation de la tangente en fonction de f : y=f'(x₀)*(x-x₀)+f(x₀). Tu trouves donc que le point B a pour coordonnées (,0). Donc dire que le milieu de AB est sur l'axe des y revient à dire que . Tu dois donc résoudre l'équa. diff. x*y'=y

[invite980a875f]

Merci beaucoup Coincoin, ça m'énervait vraiment de bloquer!
Je n'aurais pas pensé à écrire l'équation de la tangente de cette manière.

[invite980a875f]

Le problème, c'est qu'une solution de cet équation est y=x, et que cette fonction n'est pas solution du problème...
Je ne vois pas l'erreur...

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite88ef51f0]

On peut même être plus précis en disant que l'ensemble des solutions est l'ensemble des y=a.x où a est un réel quelconque. Et je suis surpris aussi... Bref, soit il n'y a aucune solution, soit j'ai loupé un truc.

[invitebb921944]

Il me semble que tu as fait une erreur coincoin.
On a :
y=f'(x0)(x-x0)+f(x0) (tangente)
On résout :
y=0




On veut que y soit le milieu de AB, c'est à dire que la coordonnée x du centre du segment soit nul :


On résout donc : 2*a*y'=y

[invite88ef51f0]

Effectivement ! Merci Ganash !
J'avais oublié le x₀ dans l'abscisse de B, ce qui change un peu tout : un 2 apparaît dans l'équation différentielle, et les solutions n'ont plus la même tête. Et du coup on obtient des solutions qui marchent !

[invite980a875f]

Merci,
je n'avais pas fait g&affe à ça non plus!