déterminer l'équation d'une fonction à partir de ces valeurs

invite7625ba4c · 02/09/2006, 18h42

Bonjour,

Comment fait on si on a la table des des valeurs d'une fonction (x,f(x)). C'est a dire que l'on a un tableau a deux dimension comme suit
x|f(x)
0|0.1
1|2
2|2.8
...|...

pour determiner une équation qui passe par tout ces points ou une famille de fonction qui passe par ces points.

Je ne pense pas qu'il existe une méthode universelle. Mais j'ai du mal à commencer mes recherches sur ce sujet, si vous aviez des liens, ou des informations sur les différentes méthodes...

Merci d'avance pour vos réponses

invite88ef51f0 · 02/09/2006, 18h52

Salut,
Le seul moyen est de connaître l'allure de la fonction, c'est-à-dire que tu connais l'expression de la fonction sauf certains paramètres à déterminer.
En effet, il existe une infinité de fonctions qui passent par ces points.

Par exemple, si tu te limites à un polynôme dont le degré est égal au nombre de points moins un, alors tu en as un seul, appelé "polynôme interpolateur de Lagrange".

**GrisBleu** · 03/09/2006, 01h36

Envoyé par cdg974

Bonjour,

Comment fait on si on a la table des des valeurs d'une fonction (x,f(x)). C'est a dire que l'on a un tableau a deux dimension comme suit
x|f(x)
0|0.1
1|2
2|2.8
...|...

Salut

Ca depend pas mal du probleme:
- si tu connais deja la famille F de la fonction (exponentielle, polynome de degre donne, etc...), alors ta fonction est sous la forme f( $\text{[math]}$ ,x) ou $\text{[math]}$ est l ensemble des parametres de f. La methode generale est alors
$\text{[math]}$ =Argmin $\text{[math]}$ . Tu reconnais la les moindres carres.

La balances est
- si tu as peu de parametres, tu ne passera pas exactement par tous les points
- si tu as trop de parametres (ex: polynome de degree n ou n est le nombre de donnees, reseaux de neurnes avec trop de neurones), ta fonction va effectivement passer par tous les points, mais aura une sale tete entre ces points (elle oscillera typiquement)

La solution est donc de ne pas passer excatement par tous les points et d exiger de f qu'elle soit lisse (genre infiniment derivable) en ajoutamt une contrainte sur f
$\text{[math]}$ . La contrainte est la norme sur H: H est un espace de fonction lisse ou une fonction oscillante a une grande norme est sera donc penalise. La balance est regle par C: un C=0 et tu retombes sur le probleme precedent, un C grand et ta fonction sera tres lisse mais ne passera pas par tes points.

Le probleme est donc le choix de H. Il y a plusieurs solutions: On peut prendre un espace de sobolev, cad
$\text{[math]}$ ou P est un operateur differentiel, alors f sera de la forme
$\text{[math]}$ ou G est la fonction de green de P. On peut aussi prendre un RKHS avec un noyau k - typiquement une exponentielle. Generalement k est une fonction de green d un P, mais tu n as pas a expliciter P dans le cas d un RKHS.

Il existe d autres solutions avances, regarde SVM sur le net.

J esperes t avoir aide, @+

**invite4793db90** · 03/09/2006, 03h16

Salut wlad,

c'est quoi un RKHS stp ?

Cordialement.

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

**GrisBleu** · 03/09/2006, 04h04

Salut Martini

Un RKHS pour Reproducing Kernel Hilbert Space.
C est un espace (notons le H) hilbertien de fonction sur un espace E (quelconque). La chose special c est qu il existe une fonction k a deux veariable sur E (le noyau) tel que
<f(.)|k(x,.)>=f(x) d ou le nom de noyau reproduisant. Les . c est pour dire que x est fixe et y -> k(x,y) est une fonction de H pour tout x

reprennons l exemple de l estimation de fonction
$\text{[math]}$ ou les x_i et y_i sont donnes.
si H est un RKHS, ca se fait tout seul comme resolution, en effet, tu peux reecrire
$\text{[math]}$
en derivant par rapport a g et en egalisant a 0, tu obtiens
$\text{[math]}$ et les w_i sont calculabes en resolvant le probleme lineaire suivant
$\text{[math]}$ ou w est la matrice $\text{[math]}$ , y est la matrice $\text{[math]}$ , I est l identite et K est la matrice $\text{[math]}$ . Comme K est symmetrique, ca se resout en un temps quadratique.

Les RKHS sont surtout utilises (enfin c est ce que j en connais) dans le domaine du machine learning (approximations, inferences, apprentissage, etc...). Le truc c est que c est tres facile de calculer dans les RKHs sans jamais le definir vraiment

je m explique. Il y a un theoreme (le theoreme !!) qui dit que si k est symetrique, defini, positif alors il existe un RKHS dont le noyau est k. Il est donne par la completion de toutes les combinaisons lineaires des fonctions k(x_i,.) vpour tous les x_i. Mais en pratique, on s en fiche...
L idee est
- considerer les donnees x_i
- les envoyer dans le RKHS par
$\text{[math]}$
- faire les calculs theoriques dans le RKHS et se debrouiller pour avoir a la fin un resultat s exprimant sous forme de produit scalaire dans H
- revenir dans le monde reel grace a $\text{[math]}$
Bref on ne fait que du calcul theorique dans les RKHS et grace au noyau on peut faire les calculs sur un PC

L espace de depart E peut etre un espace vectoriel, une variete, etc. Dans le cas d une variete c est interessant car les techniques de clustering recentes se ramenent toutes a des expressions dans un RKHS.

Je crois avoir fait le tour de ce que j en connaissait

**invite4793db90** · 03/09/2006, 11h11

Salut,

merci pour le développement : je ne connaissais pas mais c'est rusé !

Cordialement.

invite7625ba4c · 03/09/2006, 12h54

merci de vos réponses. En particulier toi wlad_von_tokyo. Bien que je n'ai pas vraiment le niveau pour comprendre (je suis en info) j'ai compris en gros l'idée. tu aurais des liens sur le sujet stp.

Supposons que la fonction a approché soit périodique, genre composition ou comme de sin et de cos, comment fait on de ce cas particulier.

**GrisBleu** · 05/09/2006, 02h17

Salut

si tu na pas d informations sur ta fonction les techniques RKHS et autres me semblent les plus puissantes. Mais, en general, les kernels sont
- des polynomes
- des gaussiennes
Bref pas tres periodiques.

Je suppose qu il existe des techniques specialisees pour ce cas. As tu des infos sur la periode ? ou sur le nombre d'harmoniques ?
Si oui, ca peut aider (cf la premiere technique avec les Theta). Par contre, tu vas tomber sur un probleme de moindres carres pas tres lineaires ni facilement exprimable avec des kernels...
Si tu n a pas d info, je pense qu on peut quand meme appliquer ce que j ai t ai dit: regarde sur google periodic function regression, j ai trouve quelques papiers utils

- Wang Y, Ke C, Brown MB. Shape invariant modeling of circadian rhythms with random effects and smoothing spline ANOVA decompositions. Biometrics 2003; 59(4):804-812.
Avec un joli kernel dedie au fonction periodique que tu peux utiliser directement avec ce que je t ai dit

- Spline-based nonparametric regression for periodic functions and its application to directional tuning of neurons.
Les splines sont des fonctions utilises en approximation de fonctions. C est une maniere cachee de faire des RKHS

- j ai vu une presentation avec des periodic gaussian kernel, tu peux regarder par la.

bon courage ++

déterminer l'équation d'une fonction à partir de ces valeurs

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