Déterminer le signe d'une fonction et démonstration par réccurence.

[invite0c5534f5]

Salut,

J'ai l'a fonction v définie sur par

Je dois déterminer les fonctions v' et v''.
Donc:



Puis je dois déterminer le signe de v"(x), mais comment faire?
On peut rien mettre en facteur alors je vois pas...

Ensuite je dois déduire les variations de v' du signe de v''(x), ça facile.
Puis je dois déterminer le signe de v'(x), il faut que je le fasse avec la tableau de variation?


Je bloque aussi sur une autre question:
Démontrer que pour tout x de ,
Je ne vois pas comment faire, y a t-il une méthode?


Dernière difficultée: une démonstration par récurrence pas facile...

Prouver par récurrence qu'à partir d'un certain rang n₀ que l'on précisera, on a:
pour tout entier naturel,

Déjà il faut trouver n₀, graphiquement j'ai trouvé n₀=4 mais je suppose qu'il faut le prouver? Mais je vois pas comment faire.

Donc faisons la réccurence:

Posons P(n): pour tout entier naturel, et

Initialisation:
<=> Donc P(4) est vraie.

Hérédité:
Supposons P(n) vraie.
Démontrons que P(n+1) est vraie, c'est à dire pour tout entier naturel, et


<=>
<=> et là je bloque, je trouve bien n² d'un côté mais j'arrive pas à avoir de l'autre...


Voila, si quelqu'un pouvait m'aider ce serait gentil.

Merci.
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[invite7ffe9b6a]

tu dois trouver le signe de x-sinx .
pour cela tu dérive et tu as 1-cos x toujours positifs car cos toujours inférieurs ou égales à 1.
Autrement dit, v'' (x) est croissante.
Or tu étudie sur [0;Pi] et v'' (0)=0-sin (0)=0.
Comme v '' est croissante sur cette intervalle et que v'' (0) est positif, v '' est toujours positive sur cette intervalle.

Après même raisonnement, v'' positive sur l'intervalle, donc v' croissante et comme v'(0)=0
v' positive

[invitea7fcfc37]

Plus généralement pour montrer une inégalité dans le même genre, tu poses la fonction différence, tu étudies la fonction et son signe, ça marche pas mal, d'ailleurs pour ton sin^3 tu peux faire pareil.

Pour ton n_0, tu n'as rien à dire, si ça marche pas pour 1, 2, 3 mais que ça marche pour 4, alors le premier rang c'est 4 c'est tout :]

[invite7ffe9b6a]

Pour ta récurence, tu suppose P(n) vrai avec n supérieur ou égal à 4.
donc tu sais que tu as .
et tu veux montrer que .
Pour montrer sa on va déja multiplier par 2. on aura donc
car 2>0.
soit .
Reste maintenant à monter que 2n² est supérieur ou égale à (n+1)².
pour cela étudie le signe de 2n²-(n+1)² (développe, calcul le déscriminant , trouve les racines et déduisant le signe lorsque n est plus grand que 4(hypothese de récurrence).

au final tu aura montré que donc que P(n+1) est vrai.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite7ffe9b6a]

Pour encadrer sin x , la deuxieme partie de l'encadrement provient de v''.
ensuite ben tu sais les variations de v donc en calculant v(0) tu trouve le signe de v donc tu sais que sinx>... et t'as ton encadrement.

[invite7ffe9b6a]

Plus généralement pour montrer une inégalité dans le même genre, tu poses la fonction différence, tu étudies la fonction et son signe, ça marche pas mal, d'ailleurs pour ton sin^3 tu peux faire pareil.

Pour ton n_0, tu n'as rien à dire, si ça marche pas pour 1, 2, 3 mais que ça marche pour 4, alors le premier rang c'est 4 c'est tout :]

oue enfin la sa marche pour 0,1,2 mais pas pour 3 en faite c'est 4 par que pour n=5, on passe à une inégalité stricte et apres pour n=6 l'écart augmente encore mais ta pas besoin de justitifer.

[invite0c5534f5]

J'ai tout compris, merci à vous deux!

La récurrence je pense que je ne l'aurais jamais trouvé tout seul.

Une petite question.
Je trouve mes racines et je dis:
donc si n € ,
donc
J'ai pas besoin de dire pour n >=4? ou alors je suis obligé de dire: et ?

[invite7ffe9b6a]

Si tu dit que n>4>racine(2)-1 donc ... parce que ton hypothese c que n>4 sinon si tu dit juste que c'est pour n appartenant a ton intervalle et que ton hypothese de recurrence te di que n<3 sa marche pas.
ramene toi a ton cas en disant que n etant plus grand que 4 il appartient bien a ton intervalle