bonsoir à tous,
en relisant mon cours d'algèbre je suis tombé sur un poly :conseils et méthodes dont la première était:
"quand on doit utiliser une base pour étudier un endo nilpotent f,on utilise généralement celle adaptée aux puissances ie telle que f(e_k)=e_k+1 si k<n et f(e_n)=0
d'ou mon intérogation sur l'existence d'une telle base?
si vous avez une idée...
amicalement
james
Une matrice nilpotente est toujours semblable a une matrice de jordan avec des 0 sur la diagonale.
Ca se démontre facilement, en utilisant par exemple la forme normale de frobenius.(le poly minimal d'une telle matrice est toujours X^n par définition de la nilpotence...)
Je pense qu'il manque l'hypothèse nilpotent d'ordre n = dim(E), sinon c'est faux. Sinon pour montrer que c'est une base c'est facile :
si Sum ai * f^i(e) = 0, tu fais f^(n-1) de cette relation, .... la famille est alors libre ....
C'est un grand classique de 1e année ce que te fais faire µµtt...
Sinon µµ tu as eu mon exo sur la mesure?
merci µµtt pour ta réponse;
sinon quinto: personne ne t'oblige à répondre à mes questions
amicalement
james
Que me vaut une telle reflexion deplacée??
Méh Kikispas ? Je crois que ce qu'a écrit Quinto a été mal interprêté !Envoyé par jameso
Peace and love les gars.
C'est bon, oublions tout ca.
message bien reçu quinto
amicalement
jameso
Ok, suite au malentendu, je crois qu'il serait bon de rappeler certaines choses qui après reflexion ne sont pas forcément au programme de MP-MP*:
Une matrice de Jordan(ou bloc de jordan) c'est une matrice avec la meme valeur µ sur la diagonale, et des 1 sur la sur diagonale (ou sous diagonale, ca n'a aucune importance, mais pas les 2 a la fois)
On voit clairement donc, que le polynome minimal de ces matrices la est justement (x-µ)^n avec n l'ordre de notre matrice, justement parce que l'on se ramene a une matrice type celle de jameso en début d'enoncé.
Lorsque l'on arrive pas a diagonaliser une matrice complexe, on est sur de pouvoir lui trouver une forme normale de jordan (c'est a dire une matrice diagonale par blocs, ou les blocs sont de jordan, et bien sur chacun des nombres sur la diagonale est une valeur propre de notre matrice)
C'est un résultat très simple (le resultat est simple, la preuve ne le semble pas tant que ca) qui affirme qu'une matrice est trigonalisable (ie: on peut la mettre sous cette forme) si et seulement si son polynome minimal est scindé. Or C étant algebriquement clos, on voit que l'on a ce que l'on voulait....
Si dans R le polynome n'est pas scindé,alors on ne peut pas réduire notre matrice de la sorte, et la on peut utiliser ce que je te disais, a savoir la forme normale de frobenius, qui consiste en mettre des 1 sur la surdiagonale (ou la sous diagonale en passant a la transposée) et de "ranger" les coefficients du polynome caracteristique dans ligne du bas (ou la colonne de droite, en passant a la transposée).
