endomorphisme nilpotent
Hello tout le monde,
je suis en seconde année de MIAS à la fac;et pour fêter ça, ils ont décidé de nous faire passer un oral de maths.
Donc j'ai un petit sujet, pas très compliqué mais disons que je sèche sur quelques questions, et j'aimerais bien faire quelque chose de bien.
Donc je vous donne mon sujet et les réponses que j'ai trouvées...
N€L(R^n) nilpotent ( il existe k tel que N^k=0) (j'ai mis le signe € pour appartient)
1) Montrer que la seule valeur propre possible est 0.
2) Montrer que 0 est valeur propre.
3) Montrer que Pcar=X^n (polynôme caractéristique)
4) Montrer qu’il existe k(N) tel que,
pour tout k≥k(N), N^k=0
pour tout k<k(N), N^k≠0
5) Montrer que Pmin=X^k(N) (polynôme minimal)
6) En déduire que k(N)≤n
7) Ei = Ker fi
Montrer que Ei C Ei+1 pour tout i
Montrer que Ei = Ei+1 <=> i≥k(N)
8) Supposons k(N) = n
Montrer que dim Ei =i pour tout i≤n
9) Donner des exemples d’endomorphismes nilpotents avec k(N)=i pour toutes les valeurs de i=1..n
Alors voilà mes solutions, par contre je ne sais pas si c'est très rigoureux:
1 et 2, facile,
3) le polynôme caractéristique c'est bien le déterminant de (XId - A) A étant la matrice de l'endomorphisme nilpotent, semblable à une matrice triangulaire supérieure avec des 0 sur la diagonale, il me semble. Donc produit des termes diagonaux donne Pcar = X^n
4)?
5)?
6) on sait que le poly minimal divise le poly caractéristique donc X^k(N) < n
7) pour i ≤ k(N) N^i=0 donc Ei=R^n, et N^i+1=0 donc Ei+1=R^n donc Ei=Ei+1
pour i quelconque je pensais le faire par récurrence mais je sais pas par quel bout le prendre...
8)d'après le théorème du rang: dim R^n=dim ker N^i + dim im N^i
donc n=Ei+ rang N^i, or je dois trouver Ei=n..bug!!
9)pas trouvé..
Voilà, je suis à peu près certaine que j'ai écrit des trucs faux mais bon.....
Merci d'avance à ceux qui auront l'amabilité de m'aider....je vous remercie bien!!
A bientôt
Mélanie
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