Groupe nilpotent

[Quinto]

Salut,
je suis en train de refaire un examen précédent et je n'ai pas la correction. On y considère le groupe D16 défini par
D16=<r,s|r^8=s²=1 et rs=sr^-1>

Je cherche son centre et son commutateur [D16,D16].
Je ne sais pas bien comment avancer dans ce problème.
Si vous aviez des idées pour avancer, ca me serait très util, sinon tant pis
En fait, je sais que D16 est un p-groupe, donc nilpotent (en considérant le quotientage par le centre qui n'est jamais trivial), et si je trouve le commutateur et le centre, je pense que j'aurai l'indice de nilpotence de D16, en considérant la suite descendante:
D16
[D16,D16]
etc.

Merci d'avance
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[moijdikssékool]

je vois mal comment il peut être nilpotent si on a toujours r^8 = 1
nilpotent: r^p = 0 à partir d'un certain p. or il existe toujours un k tel que 8*k > p

à moins que tu expliques ce qu'est la nilpotence pour D16
d'ailleurs c'es quoi un centre et un commutateur?

et c'est sr^-1 ou (sr)^-1 ?

[Quinto]

Nilpotent ce n'est pas ce que tu dis.
Un groupe G est nilpotent s'il existe une chaine centrale

{e}<H1<H2<...<Hn<G
où < représente le signe "normal" ou "distingué".

Et il faut la condition supplémentaire:
Hi/Hi-1 est contenu dans le centre de G/Hi-1 pour tout i.

Et mon groupe EST niplotent...

Pour finir, je ne sais pas ce que tu appelles 0 dans un groupe multiplicatif... ni ce que tu prends comme relation d'ordre...

[martini_bird]

Salut,

il me semble que dans les groupes diédraux, les éléments sont soit de la forme r^k ou sr^k, non? (en tout cas, ça doit pas être difficile à démontrer)

Du coup, je dirais que le centre Z=<r>.

Pour le commutateur, ça doit être du même acabi.

En espérant ne pas avoir dit trop de bêtise...

[A voir en vidéo sur Futura]

[Quinto]

Salut, c'est ce que j'aurai dit, mais j'ai du mal à faire commuter les éléments...
en fait si on prend x=s on a que
rs=sr si vraiment r est dans le centre, mais c'est déja pas le cas.

Je vais essayer quand même dans cette direction.
merci beaucoup.

Peut etre r^p avec p bien choisi...

[matthias]

assez clairement r⁴ appartient au centre, non ?

[matthias]

On montre facilement que pour tout k, r^ks = sr^-k et donc que tous les éléments sont bien de la forme r^k ou sr^k
si x = sr^k appartient au centre alors il commute avec tous les r^q, d'où on tire r^q = r^-q pour tout q
pour q = 1, ça donne r² = 1, ce qui n'est pas terrible
si x= r^k appartient au centre alors il commute avec tous les sr^q, d'où on tire r^2k = 1
cela donne bien Z=<r⁴>

[matthias]

J'ai un doute, ça fait longtemps que j'ai pas bossé là-dessus. Je sais ce qu'est le commutateur de 2 éléments d'un groupe, mais le commutateur d'un groupe c'est quoi ? Le groupe engendré par tous les commutateurs (groupe dérivé) ?

[invite8f53295a]

Z=<r⁴>

Ca c'est ok. Pour le groupe dérivé, à mon avis plutôt que d'essayer de faire des calculs d'éléments (ce qui va marcher), on peut utiliser le fait qu'il donne le plus grand quotient abélien du groupe. Les sous-groupes distingués sont ici les sous-groupes cycliques de Z/8Z (les "rotations"), et j'ai l'impression (à confirmer) que toutes les symétries (les autres éléments) sont conjugués. Le plus grand quotient abélien est donc obtenu en quotientant par Z/4Z. Le groupe dérivé ne serait-il pas <r^2> ?

[Quinto]

Salut,
entre temps j'ai trouvé la solution, dans le fond je n'étais vraiment pas loin, mais juste un peu confus.
En effet, Z=<r^4> (on doit résoudre l'équation 2p=0 modulo 8)
Le commutateur est en effet <r^2>.
Ainsi, au final, on trouve que le degré de nilpotence est 3..
Merci beaucoup en tout cas
Pour ce qui est de ton quotientage BS, ne peut on pas, puisqu'on est dans le cadre d'un 2-groupe, quotienter G=D16 par son centre, qui sera lui encore un 2 groupe, en réalité, un groupe d'ordre 8?

[invite8f53295a]

Oui mais il ne sera pas commutatif.

[Quinto]

Donc techniquement on aura une chaine normale, mais pas une chaine centrale, et on ne prouvera rien...
Merci