vous avez dit nilpotent?

[lyapounov]

salut les matheux

l'un de vous pourrait il m'expliquer simplement le sens du mot nilpotent et ce qu'il recouvre?

un langage accessible à un etudiant de DEUG serait le bienvenu (je n'ai plus fait de math depuis l'epoque de la fac )
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[invite356fbc3c]

Nilpotent est un terme en général utilisé pour une matrice carré et quelques fois pour des fonctions (en général des automorphismes linéaires d'espaces vectoriels).

Une matrice A est dite nilpotent si en la multipliant successivement par elle-meme elle peut donner 0 (en clair s'il existe un entier k tel que A^k=0).

Par exemple la matrice A :
| 0 0 |
| 1 0 |
est une matrice carré de taille 2 et telle que A * A = 0. Elle est nilpotente.

Pour une fonction d'un ensemble dans lui-même, etre nilpotente veut dire que si on l'itère un certain nombre de fois, on obtient la fonction nulle (qui donne 0 quelquesoit l'entrée).

Pour s'en souvenir, décompose le mot :
NIL pour nulle ou zéro
POTENT pour le potentiel.
Quelquechose de nilpotent est donc quelquechose qui est potentiellement nul.

[lyapounov]

ok ok
reponse super claire merci

mais a quoi ça sert?

[invite6f044255]

salut lyapounov,

mais a quoi ça sert?

et une fonction croissante, ça sert à quoi?

C'est un peu bizarre comme question, mais pour te répondre partiellement, une des grandes utilités est pour la trigonalisation des matrices (méthode de Jordan, si ça te dit quelque chose....)

[A voir en vidéo sur Futura]

[lyapounov]

et une fonction croissante, ça sert à quoi?

je suis d'accord qu'une fonction croissante ne sert à rien mais la notion de croissance et de continuité sont bien utiles et j'en comprend leur interet

ma question (mal posée ) était donc : cette définition intervient dans quel champ d'étude et pourquoi est elle importante

[invite6f044255]

ok, mais c'était une boutade mon histoire de fonction croissante....

donc, comme je l'ai dit, une de leur principale utilisation est la trigonalisation des matrices (le fait de trouver une matrice semblable qui soit triangulaire). La méthode est celle de Jordan.
Ne me demande pas de t'expliquer cette méthode, s'il te plait....

Sinon, je ne leur connais pas de vraies utilités....mais il y en a peut-être....

[invite356fbc3c]

en fait ça sert à calculer des puissances de matrices. Tu prends une matrice A quelconque (donc compliquée) et tu la décompose en somme de deux matrices : A = D + N avec D une matrice diagonale et N une matrice nilpotente.

Une matrice diagonale n'a des coefficients non nuls que sur la diagonale, il est donc très facile de calculer ses puissances, il suffit de mettre à la puissance désirée tous les coefficients.

Pour une matrice nilpotente, les puissances ne sont pas spécialement facile à calculer mais on sait qu'à partir d'un certain moment N^k=0 donc on n'a qu'à calculer un petit nombre de puissance de N toutes les autres étant nul.

On calcule alors les puissances de A comme somme de quelques puissances de N multipliées par des puissances de D ce qui permet de simplifier largement les calculs.

De toute façon, en maths et surtout avec les matrices, plus il y a de zéros et mieux on se porte.............

[invite6f044255]

salut,

juste un petit rappel sur la méthode décrite par Diogène: il faut que D et N commute....sinon, ça ne marche pas

[invite356fbc3c]

Il me semble qu'une matrice diagonale commute tout le temps mais je fais peut etre erreur

[Quinto]

Une matrice diagonale commute tout le temps .... si le corps de base est commutatif, mais sur H par exemple ce n'est plus vrai.
Cela etant personne n'est assez fou pour travailler si H .... mais on ne sait jamais.

Sinon le mot nilpotent n'est pas util QUE en algebre lineaire, mais dans n'importe quel anneau non integre on rencontre des elements nilpotents...

[invite356fbc3c]

Merci Quinto pour tes eclaircissements....

Il est vrai qu'il faut que le corps de base soit commutatif sinon on est un peu embete.

Bien sur le mot nilpotent n'est pas utilisé qu'en algèbre linéaire, j'ai juste donner un exemple d'utilisation.

[invite6f044255]

salut,

euh....pour moi, une matrice diagonale ne commute pas tout le temps, ce sont les matrices scalaires qui commutent tout le temps....la différence est légère mais existe.

Mais, d'un autre côté, je n'ai peut-être pas compris, car un "corps de base commutatif", je sais pas trop ce que ça veut dire...et H, je sais pas ce que c'est.....

[invite356fbc3c]

Tu as raison ixi ce sont les matrices scalaires qui commutent tout le temps, il faut donc décomposer A en S + N avec S scalaire et N nilpotente dans ma méthode.

Un corps commutatif c'est un corps tel que pour tous les éléments a et b de ce corps on ait a * b = b * a.

Le corps de base d'un ensemble de matrices c'est le corps des coefficients des matrices (en général on prend ou qui sont des corps commutatifs)
mais qui est le corps des hamiltonien est un corps contenant mais dont tous les éléments ne sont pas commutatifs.

En effet, tous élément de s'écrivent sous la forme a + ib avec i²=-1, a et b réels. Et bien dans H tous les élements sont de la forme a + ib + jc + kd avec a,b,c,d réels et les nombres i,j,k vérifient :
i²=j²=k²=-1
ij=k;ik=-j;ji=-k;jk=i;ki=j et kj=-i.

On voit ici que par exemple donc le corps n'est pas commutatif et si tu te sert de ce corps pour faire des matrices et bien même les matrices scalaires peuvent ne pas commuter.

[invite206bb45f]

[QUOTE=Diogène]Tu as raison ixi ce sont les matrices scalaires qui commutent tout le temps, il faut donc décomposer A en S + N avec S scalaire et N nilpotente dans ma méthode.

Ca n'est pas toujours possible... On ne peut le faire que quand A a
n valeurs propres identiques (ou n est la taille de A).
Par contre on peut toujours decomposer A en D + N ou D est diagonalisable (ie diagonale, mais dans une autre base a priori), N et
nilpotente et D et N commutent. C'est la decomposition de Dunford.
Elle est unique d'ailleurs : il n'y qu'une facon d'ecrire A = D+N avec ces conditions.