la théorie du chaos anéantit les calculs
Voilà une remarque que j'ai a faire sur le calcul lui-meme. Prenez
un algorithme par exemple p* r(1-p) répétez cet algorithme une 50aine
de fois. Maintenant transformez cet algorithme de sort qu'il soit égale:
par exemple: p * ( r- rp). Répétez cet algorithme une 50 aine de fois
et regardez ce qu'il se passe. Vous comprendrez qu'il ne faut pas trop se fier aux calculettes lol.
Bonjour
Ce que vous dites est exact et c'est là tout le problème des systèmes chaotiques, Au bout de quelques ítérations, même avec 20 décimales, le calcul diverge. Vous avez changé d'algorithme mais vous pouvez garder le même.
Si l'on reprend (ce que vous avez du faire) l'application logistique (http://en.wikipedia.org/wiki/Logistic_map)
xn+1 = r*xn(1 - xn ),
pour r dans la région de 4. Démarrez avec x=0 puis x=0.00001 ou quelque chose de petit. Au bout de plusieurs itérations, tout diverge. Si vous prenez r=2.5, on converge vers une constante au bout de quelques itérations, quelque soit la valeur de départ.
Nota: tout point de dé[art doit être entre 0 t 1
JM
exactement, vous avez bien raison, personnelleemnt je suis passioné des systemes chaotiques, meme si je n'ai que 19 ans lol. Mais apparemment vous semblez bien vous y connaitre. J'ai d'ailleur ds tas d'autres exemples comme ca ou les systemees non-linéaires anéantissent les calculs lol, j'aodre ca.
en fait tout est lié au fait que les points d'équilibres soient attractif ou répulsif, et il est vrai que si on se place pret d'un point répulsif, le moindre écart dans la donnée initiale peut donner des résultats très différent en qq itérations
exact en fait c a peu près la définition des systemes chaotiques. le moindre changement ds un systeme chaotique peut avoir d'étonnants effets, par exemple ce qu'on appelle l'effet papillon.
Salut
je ne suis pas d'accord avec cette afirmation.
Envoyé par davidtripo
les systemes dynamiques non linéaires n'anéantissent pas les calculs au contraire. Quelques exemples :
*Le point de bifurcation de l'équation logistique apparait au point de feingenbaum dont la valeur est une constante universelle au meme titre que celles des mécaniques relativistes ou quantique.
*Le degré de chaos dans un systeme est défini par les exposants de lyapounov qui se calculent aisement pour tout systeme (toute ressemblance avec mon pseudo peut etre consideree comme non accidentelle)
*Les valeurs des dimensions non entières définis par Ausdorf sont issues des travaux de Peano et Cantor sur les systemes non linéaires
*La notion d'espace des phases et toute sa metrique définis par Poincaré sont purement mathématiques.
*La géométrie fractale de Mandelbrot est faite de purs calculs.
etc
Le chaos ne traduit que notre impossibilité a connaitre la solution qui sera retenue par un systeme parmi toutes celles que nous avons calculées. On a affaire à un chaos DETERMINISTE.
Pour s'initier à cette théorie des ouvrages faciles d'acces peuvent etre consultés tels que :
J. Gleigck : La théorie du chaos (incontournable bien que tres incomplet)
JC Heudin : Evolution au bord du chaos
I peterson : Le chaos dans le systeme solaire (un des meilleurs livres d'initiation)
et d'autres que je pourrai t'indiquer si tu le souhaite
Bonjour,
J'ai lu La théorie du chaos (et je termine une relecture) de James Gleick. Le livre est très abordable sur le plan technique et mathématique (bon ! y pas de mathématique dans le livre ou si peu), pas compliqué (même si le chaos aborde la complexité).
J'ai aussi commencé la lecture de Dieu joue-t-il aux dés ? de Ian Stewart (Champs / Flammarion). À prime abord, le livre semble un peu plus technique et un peu plus mathématique (mais pas trop tout de même).
Après, je verrais ....
salut
Ian stewart est un tres bon livre sur le sujet
Ne pas oublier pour voir le chaos dans une problematique un peu plus large (moins strictement mathématique) les livres de Ilya Prigogine dont La fin des certitudes - L'homme devant l'incertain - A la rencontre du complexe - La nouvelle alliance
oui mais faut faire attention, parce qu'il n'y a pas que le chaos déterministe.Et essaie par toit meme ce que j'ai montré au-dessus et tu verras bien...
ce que je veux souligner en fait c par rapport à nos outils de calculs, qui sont loin d'etre parfait et lorsque l'on prend des calculs de systemes chaotiques, liés a la précision de ton outil, les résultats vont bien sur différer, mais le truc c qu'il ne vont pas différer de peu mais de plus en plus rapidement et ce de manipre logarithmique.
euh je crois que tu fais une petit erreur ici. Les divergences suivent plutot une evolution exponentielle.
Bonjour,
Les trajectoires de points au départ très voisins peuvent s'écarter de manière exponentielle (du moins au départ si le système est globalement stavle). Ceci fait que, quelque soit la précision de votre ordinateur, vous ne puissiez calculer une trajectoire. Il n'est pas nécessaire d'être au voisinage d'un point d'équilibre instable. C'est bien du chaos déterministe: les lois sont déterministes mais le résultat est incalculable. Le chaos n'a rien à voir avec le hasard.
La météo est un bon exemple voire le système solaire: est il réellement stable, à long terme (les forces n'étant absolument pas linéaires)? On a une idée mais on n'est pas sûr.
Un exemple (je ne sais plus où, je crois que c'est dans Ekeland): si je joue au billard, et que je néglige l'effet gravitationnel des joueurs, je ne peux calculer avec certitude que quelques bandes (ce doit être environ 9, je cite de mémoire). Si je néglige l'effet d'un électron situé aux confins de l'univers, c'est 21 bandes!
Amicalement
JM
Bien c'est exactement ce que je pense, ceci dit ca marche encore mieux avec une systeme non-linéaire.
les esemples de Jean Marie sont des exemples NON LINEAIRES
il serait peut etre bon que tu maitrise bien les definitions de syteme lineaire, systeme deterministe et systeme non lineaire.
j'ai l'impression que tu cherche a convaincre que tes systemes sont speciaux alors qu'ils sont classiques voire basiques
Bien évidemment les bases sont simples, mais le résultat est complexe. C l'une des idées derrière la théorie du chaos, ceci dit tu as raison, je n'ai pas encore bcp d'expérience sur la théorie du chaos, mais j'y travaille énormément...
La comprehension de l'approche du chaos n'est pas compliquée a priori, il faut bien comprendre les définitions.
Le plus dur c'est d'en comprendre la teneur mathématique et ses consequenses.
Dans un de mes posts sur ce sujet j'ai fait allusion aux exposants de Lyapounov. Regarde sur le net de quoi ça traite et tu auras une bonne idee de la beaute de la chose mais ausi de sa difficulté conceptuelle
notamment ici
http://pass.maths.org.uk/issue9/feat...nov/index.html
oops c'est plutot ici
http://pass.maths.org.uk/issue9/feat...nov/index.html
les esemples de Jean Marie sont des exemples NON LINEAIRES
il serait peut etre bon que tu maitrise bien les definitions de syteme lineaire, systeme deterministe et systeme non lineaire.
j'ai l'impression que tu cherche a convaincre que tes systemes sont speciaux alors qu'ils sont classiques voire basiques
Bonjour
Je suis bien d'accord mais c'est bien la non-linéarité qui est à l'oeuvre, sinon pas de chaos.
Les systèmes cités ne sont pas spéciaux, mais j'aime bien l'intervention de davidtripo. Si nos Bourbaki (tout en faisant honneur à toute leur oeuvre) avaient eu connaissance du chaos, leur vision des mathématiques en eût été changée.
Je ferai une remarque supplémentaire: pas de chaos pour les systèmes dynamiques (régis par une équation différentielle du secon ordre) d'espace des traces de dimension 2 comme, par exemple, un oscillateur non-lineaire seul: les trajectoires ne peuvent pas s'emmêler. Un degré de liberté de plus et les trajectoires s'emmêlent (attracteur de Hénon ou Lorentz ou qui vous voulez).
Pour en finir (pour l'instant) et pour la beauté de la chose, et pour les systèmes dynamiques holomorphes (itération dans le plan complexe), le chaos est directement associé à un fractal (les ensembles dits de Julia).
Je crois que davidtripo s'intéresse à un sujet réellement passionnant et je tenais à le dire.
Amicalement
JM
Merci bcp jean marie, pour ta réponse, mais dites moi l'attracteur de Hénon représente quoi exactement? Parce que je peux facilement le calculer sur l'ordi mais j'arrive pas a comprendre quel est son but?
Comment concretement calcule-t-on la dimension fractale d'un attracteur etrange, notamment du point de vue que ce n'est pas necessairement une fonction continue du parametre de bifurcation ?
Ou la, j'imagine que la reponse va etre terrible
Peut-etre est-ce tout simplement impossible !
Une suggestion lancee comme ca : les ondelettes ? Il existe deja des methodes valables pour les dimensions globales (constantes) avec les ondelettes, peut-etre cela s'appliquerait-il au multifractales ?
