La courbe représentative de la fonction ln et ses tangentes...

[invite3a0844ce]

Bonjour à tous,

Je viens soliciter votre aide pour une petite démonstration. J'ai quand même été surpri de ne rien trouver sur internet à ce sujet...

Il s'agit de démontrer que la courbe représentative de la fonction ln est sous sa tangente en chaque point.

Voici ma démarche :

Soit T(x;x0) l'équation de la tangente au point d'abscisse x0.
On a : T(x;x0) = f'(x0)*(x-x0)+f(x0) où f(x) = ln (x)

Donc T(x;x0) = (x-x0)/x0 + ln (x0)

Nous sommes ramenés à comparer T(x;x0) et ln (x). Cherchons le signe de leur différence : (x-x0)/x0 + ln (x0) - ln (x) = (x-x0)/x0 + ln (x0/x)

On sait déjà que x et x0 sont strictement positifs puisque Df = R+*

Il faut donc étudier 3 cas :

-si x0=x on a T(x;x0) - ln (x) = 0 ce qui est tout à fait normal puisqu'il s'agit du point de contact entre la courbe et sa tangente.

-si x0 est strictement inférieur à x : (x-x0)/x0 est strictement positif et ln (x0/x) est strictement négatif puisque x0/x est inférieur à 1. Là gros problème !

-si x0 est strictement supérieur à x : même problème...

On est donc dans une impasse... Comment prouver que valeur absolue de (x-x0)/x0 est strictement supérieur à valeur absolue de ln (x0/x) pour x0 supérieur puis inférieur à x ?

J'ai pensé à partir du fait que x0/x est strictement supérieur à ln (x0/x) mais je n'arrive à rien.

Pensez-vous que c'est possible ? Si non, il faudrait partir de où ?

J'ai pensé à passer par l'exp en utilisant les propriétés de la fonction réciproque mais le problème est le même. J'ai aussi essayé d'étudier la fonction T(x;x0) (dérivée etc...) mais ça ne mène à rien...

En espérant que vous pourrez m'aider (n'hésitez pas à me proposer une toute autre voie de démonstration si celle-ci est inexploitable)

Merci
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[invitea774bcd7]

Salut

C'est une courbe strictement croissante sans points d'inflexion.
Je crois que ça suffit pour démontrer qu'elle est toujours sous sa tangente…

[Romain-des-Bois]

Salut !

Je reprend un peu tout en réécrivant en LaTeX pour que ce soit plus joli

Soit

La tangente à la fonction ln au point d'abscisse x₀, c'est :



On veut montrer que la tangente est au-dessus de la courbe, donc on veut :


Bon,

Tu poses et...


Romain

[Romain-des-Bois]

Salut

C'est une courbe strictement croissante sans points d'inflexion.
Je crois que ça suffit pour démontrer qu'elle est toujours sous sa tangente…

L'exponentielle n'est-elle pas strictement croissante et sans point d'inflexion ?

Je m'autoquote ! Ce que je cite veut simplement dire les réels strictement positifs auxquels on enlève le réel x₀ (j'ai pas réussi à faire un truc joli...)


Romain

[A voir en vidéo sur Futura]

[Romain-des-Bois]

Pour aller encore plus vite : la fonction ln est concave d'où résultat (et c'est comme ça que tu feras cette question en spé (si on te la pose...))

[invitea774bcd7]

Pour aller encore plus vite : la fonction ln est concave d'où résultat (et c'est comme ça que tu feras cette question en spé (si on te la pose...))

C'est ce que je voulais dire, en fait
Puisque pour l'exponentielle, c'est le contraire…

Comment on démontre qu'une fonction est concave ? (plutôt : c'est quoi la définition exacte d'une fonction concave ? On sent bien ce que ça veut dire mais plus précisément…)

[Romain-des-Bois]

wiki est ton ami !

http://fr.wikipedia.org/wiki/Fonction_convexe

[invite3a0844ce]

Salut à vous et merci pour vos réponses !

Pour ce qui est des points d'inflexion et de l'histoire de la fonction concave je ne pourrais rien utiliser puisque je n'ai pas encore vu ces notions.

Donc je reprends suite à la simplification de l'expression de Tx0 (x) - ln (x) faite par robin des bois :

On a : Tx0 (x) - ln (x) = x/x0 - ln (x/x0) - 1

On pose U = x/x0

Soit f(U) = U - ln (U) - 1

f est dérivable sur R+*

f'(U) = 1 - 1/U = (U-1)/U

Donc si U est strictement supérieur à 1, f'(U) est strictement positive donc f est strictement croissante. Si U est strictement supérieur à 0 et strictement inférieur à 1, f'(U) est strictement négative donc f est strictement décroissante. Si U = 1, f'(U) = 0 donc f admet un minimum local en 1.

On dresse un petit tableau des variations en mettant en évidence que f(1)=0. On en déduit que f est positive ou nulle sur R+*.

Donc U - ln (U) - 1 est positif ou nul.
Donc x/x0 - ln (x/x0) - 1 est positif ou nul.
Donc Tx0 (x) - ln (x) est positif ou nul.
Donc Tx0 (x) est supérieur ou égal à ln (x).

Enfin on conclu que pour tout point de R+* la courbe représentative de la fonction ln est sous sa tangente.

Avec ça je crois qu'on a tout, mais c'est vrai que c'est assez lourd comme démonstration. C'était un exo pour mardi.

Encore merci à vous deux

[Romain-des-Bois]

Salut à vous et merci pour vos réponses !

Pour ce qui est des points d'inflexion et de l'histoire de la fonction concave je ne pourrais rien utiliser puisque je n'ai pas encore vu ces notions.

Salut !

Attention, la "preuve" avec les points d'inflexion n'en est pas une ! Le raisonnement est faux...

Tu verras bientôt la notion de convexité (et concavité) qui te permettront de conclure plus rapidement !
(en gros si f est dérivable : concave <=> courbe au-dessous des tangentes et convexe <=> courbe au-dessus des tangentes)

Donc je reprends suite à la simplification de l'expression de Tx0 (x) - ln (x) faite par robin des bois :

Romain-des-Bois (sinon y a plus de jeu de mot ! )


La preuve n'est pas vraiment lourde (c'est vrai que tu détailles beaucoup)... Attend toi à faire des trucs bien plus longs et surtout bien plus compliqués en spé !
(je me rappelle, cette année (en spé), la preuve de Féjer http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A..._de_Fej%C3%A9r qui a pris 4 pages... et encore pas dans sa version la plus générale !)


Romain

[invite3a0844ce]

Ok pour tout, et désolé pour le pseudo

[Romain-des-Bois]

Bah c'est pas grave Bonne continuation !