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Longueur d'une courbe représentative d'une fonction ...



  1. #1
    LocalStone

    Longueur d'une courbe représentative d'une fonction ...


    ------

    Alors voilà, je me demandais dans le train comment on pouvait faire pour connaitre la longueur de la courbe représentative de n'importe quelle fonction entre et ? Du coup, j'ai essayé à coup d'intégrale et tout, mais vu que je savais pas trop comment on pouvait définir cette "longueur", mes calculs n'aboutissent pas tu tout ...
    Donc si quelqu'un à la réponse, merci .

    -----

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  3. #2
    LocalStone

    Longueur d'une courbe représentative d'une fonction ...

    Alors voilà, je me demandais dans le train comment on pouvait faire pour connaitre la longueur de la courbe représentative de n'importe quelle fonction entre et .

  4. #3
    Jeremy

    Re : Longueur d'une courbe représentative d'une fonction ...

    En paramétrant ca marche pas mieux ? y=f(x) -> P(t) ={x=x(t) y=y(t)} D=integral(P(t)) entre t1 et t2 ?

  5. #4
    indian58

    Re : Longueur d'une courbe représentative d'une fonction ...

    c 'est simple: c'est l'intégrale entre x1 et x2 de Norme(dM/dt)

  6. #5
    evariste_galois

    Re : Longueur d'une courbe représentative d'une fonction ...

    J'espère ne pas me tromper en affirmant que la longueur de la courbe représentative d'une fonction continuement dérivable entre les points a et b s'interprète comme l'intégrale de a à b de (1+f'²)^1/2.
    Plus de précisions un peu plus tard, promis .
    "Au train où vont les choses, les choses où vont les trains ne seront plus des gares."

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    evariste_galois

    Re : Longueur d'une courbe représentative d'une fonction ...

    Un petit exemple, pour la forme:

    Soit à calculer la longueur de la courbe représentative de la fonction x->cosh(x) sur l'intervalle [0;1] .

    A toi de jouer LocalStone!
    "Au train où vont les choses, les choses où vont les trains ne seront plus des gares."

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  10. #7
    eljeys

    Re : Longueur d'une courbe représentative d'une fonction ...

    On peut essayer de justifier "avec les mains" cette formule

    Soit une courbe d'équation y=f(x)
    On prend un tronçon infinitésimal de la courbe de longueur dl. En projection sur l'axe des absisses, on a dx et dy en projection sur l'axe des ordonnées.

    On "peut" alors appliquer le théorème de pythagore

    dl2 =dx2 +dy2

    Or dy=(dy/dx)*dx=f'(x)dx

    d'où dl2 =dx2 +(f'(x)dx)2

    =>dl=racine(1+f'(x)2)dx

    Ensuite on intègre entre x1 et x2 et on retrouve la bonne formule.

  11. #8
    LocalStone

    Re : Longueur d'une courbe représentative d'une fonction ...

    Merci de vos réponses, c'est cool . Mais comment on fait si la fonction pour calculer la longueur (le truc avec la racine) n'est pas intégrable avec les fonctions usuelles ? Y a pas moyen d'y arriver avec des approximation de la fonction de départ avec des polynomes ? ...
    ++ !
    L.

  12. #9
    Kacsou

    Smile Re : Longueur d'une courbe représentative d'une fonction ...

    Sinon, pour une fonction de la forme y=f(x), la longueur entre x1 et x2 est donnée par :

  13. #10
    martini_bird

    Re : Longueur d'une courbe représentative d'une fonction ...

    Bonjour,

    j'ai fusionné les fils sur le même sujet.

    Pour la modération.

  14. #11
    LocalStone

    Re : Longueur d'une courbe représentative d'une fonction ...

    Merci martini_bird ... J'ai bugué en créant le premier thread ...

  15. #12
    Samuel_222

    Re : Longueur d'une courbe représentative d'une fonction ...

    Salut !

    Je ne commprends pas cependant. En prenant f(x)=1 entre 0 et 1, on devrait trouver une courbe de longueur 1...

    Or :



    De même, on devrait trouver 1 pour tout f(x)=constante... or la formule semble indifférente à cela !

    Où est l'erreur ? Merci

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  17. #13
    Médiat

    Re : Longueur d'une courbe représentative d'une fonction ...

    Citation Envoyé par Samuel_222 Voir le message
    Je ne commprends pas cependant. En prenant f(x)=1 entre 0 et 1, on devrait trouver une courbe de longueur 1...
    Tu es sur de ta dérivée pour f(x) = 1 ?
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  18. #14
    Samuel_222

    Re : Longueur d'une courbe représentative d'une fonction ...

    Ah ok, j'avais pas vu qu'on parlais de la dérivée !

    Merci

  19. #15
    Ledescat

    Re : Longueur d'une courbe représentative d'une fonction ...

    Citation Envoyé par Kacsou Voir le message
    Sinon, pour une fonction de la forme y=f(x), la longueur entre x1 et x2 est donnée par :
    "Intuitivement", on somme toutes les normes infinitésimales des vecteurs vitesse à la courbe.
    Tout ça pour dire qu'il n'est pas étonnant de voir une racine carrée (norme) et du f ' (vitesse).

    Cordielement.
    Cogito ergo sum.

  20. #16
    FonKy-

    Re : Longueur d'une courbe représentative d'une fonction ...

    Citation Envoyé par Ledescat Voir le message
    "Intuitivement", on somme toutes les normes infinitésimales des vecteurs vitesse à la courbe.
    Tout ça pour dire qu'il n'est pas étonnant de voir une racine carrée (norme) et du f ' (vitesse).

    Cordielement.
    Qu'appelle tu norme infinitésimale ?

  21. #17
    Ledescat

    Re : Longueur d'une courbe représentative d'une fonction ...

    Citation Envoyé par FonKy- Voir le message
    Qu'appelle tu norme infinitésimale ?
    Si g st la fonction vectorielle associée à f, ie

    Un petit bout de courbe a pour longueur

    Et ensuite on somme toutes ces normes infinitésimales pour trouver la longueur.
    Mais je conviens que c'est expliqué avec les mains .
    Cogito ergo sum.

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