Etude d'une fonction et tracé de sa courbe représentative

[invite8937d22e]

Bonjour je suis sur cette exercice, je sollicite votre aide merci d'avance

Soit f la fonction définie sur ]0,+∞[ par f(x)= (1/2)(ln(x))² + ex - e
On note Cf la courbe représentative de f dans le plan raporté à un repére orthogonal (4cm en abscisse et 2cm en ordonnée)
1) Verifier que, pour tout x de ]0,+∞[, f'(x)=g(x)
2) Determiner les limites de f en 0 et en +∞
3) Dresser le tableau de variation de f
4) Determiner une équation de la tangente T à Cf, en son point I d'abscisse 1 , Preciser la position de Cf par rapport à T.
5) Tracer T et Cf
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[invite8937d22e]

q1) je ne compren pas
q2) lim de (1/2)(ln(x))² lorsque x tend vers 0 = +∞
lim de ex-e lorsque x tend vers 0 =-∞
c'est une forme indeterminé mais apré je ne sait pas quoi faire( factoriser?)

[invite19431173]

Salut !

On ne sait pas ce qu'est g(x)... Tu as essayé au moins, de dériver f(x) ?

[invite8937d22e]

j'ai oublier g(x)= (lnx)/(x) +e
je ne sait pas comment on dérive (lnx)²

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite19431173]

C'est une dérivée de type u^n

[invite8937d22e]

j'ai pas cett formule sur mon cahier j'ai juste x^n

[invite19431173]

Tu es en TermES ? Vous avez pas fait les dérivées de fonctions composées ?

[invite8937d22e]

si on a fait sa je vien de retrouver la formule la c'est u^n
on a : n=2.u(x).u'(x) = 2.lnx. (1/x) = 2 (lnx/x) ,(1/2).2 . (lnx)/(x)+e= (lnx)/(x) + e = g(x)

[invite8937d22e]

limite f(x) lorsque x tend vers 0 : limite de 1/2(lnx)² lorsque x tend vers 0 = +∞ ;limite de ex-e lorsque x tend vers 0 = -∞ ; donc on a une forme indeterminée je ne sait pas quoi faire apart factoriser par le monome de plus haut degré

[invite8937d22e]

comment calculer la limites d'une fonction indeterminé

[invite8937d22e]

bonjour quelqun peut m'aider a trouver les limites de fonction , avec une forme indeterminé svp

[invite35452583]

limite f(x) lorsque x tend vers 0 : limite de 1/2(lnx)² lorsque x tend vers 0 = +∞ ;limite de ex-e lorsque x tend vers 0 = -∞ ; donc on a une forme indeterminée je ne sait pas quoi faire apart factoriser par le monome de plus haut degré

Bonjour,
tu es sûr de ce qu'il y a en rouge, ça ressemble plutôt à une belle étourderie, non ?
Une fois ceci corrigée, il n'y a plus de forme indéterminée. (il n'y en a pas non plus à +infini).

[invite8937d22e]

bonjour, pour le tableau de variations de f(x)=1/2(lnx)²+ex-e , f(x) s'annule pour x = e.(1/e) mais aprés je ne sait pas comment placer dans le tableau

[invite8937d22e]

quelq'un peut m'aider svp c'est urgent merci

[invite35452583]

bonjour, pour le tableau de variations de f(x)=1/2(lnx)²+ex-e , f(x) s'annule pour x = e.(1/e) mais aprés je ne sait pas comment placer dans le tableau

Salut,
e(1/e)=1 je crois;
Sinon, il faut surtout chercher les zéros de f', un calcul exact n'est pas possible mais des théorèmes permettent de savoir le nombre de ceux-ci et en trouver une approximation. Une fois les zéros de f' obtenus, on détermine le signe de f' entre ces zéros, on a les variations de f, on peut placer certaines valeurs intéressantes (comme pour x=1) et les limites aux bornes (déjà calculées), le train-train habituel quoi...

[invite8937d22e]

f'(x)= (lnx/x)+e s'anule pour x=1/e j'ai trouver que sa c'est juste?

[invite8937d22e]

f'(x) est positive de ]-∞;1/e[ puis positive de ]1/e,e]

[invite35452583]

f'(x)= (lnx/x)+e s'anule pour x=1/e j'ai trouver que sa c'est juste?

En effet

f'(x) est positive de ]-∞;1/e[ puis positive de ]1/e,e]

Pas tout à fait.

[invite8937d22e]

oui je suis aller trop vite
f'(x) est négative de ]-∞;1/e[ puis positive à ]1/e,e]
j'ai mis "e" car lim f'(x) lorsque x tend vers +∞ = e et il ya une asymptote horizontale d'équation y=e

[invite35452583]

oui je suis aller trop vite
f'(x) est négative de ]-∞;1/e[ puis positive à ]1/e,e]
j'ai mis "e" car lim f'(x) lorsque x tend vers +∞ = e et il ya une asymptote horizontale d'équation y=e

J'ai confirmation qu'il y a confusion.
Ce que l'on cherche ce sont les domaines sur lesquels f' prend tel ou tel signe et non les valeurs réellement prises.
]-∞;1/e[ n'est pas ce que l'on cherche f et donc f' ne sont pas définies pour x<=0. De même f' est encore positif après la valeur e. N'oublie pas qu'ici tu cherches des renseignements sur f, ce que tu veux de f' c'est le signe car cela donne les variations de f.

[invite8937d22e]

ou j'ai pas fait attention au domaine de défintion donnée c'est ]0;+∞[
donc f'(x) est positive à ]0,+∞[

[invite8937d22e]

nn c'est faux ce que j'ai écrit je me suis trompé

[invite8937d22e]

sur ]0;1/e[ f'(x)<0 donc négative
sur ]1/e; +∞[ f'(x)>0 donc positive

[invite8937d22e]

ensuite, On me demande de trouver l'équation de la tangente T en I d'abscisse 1. je sais que l'équation d'une tangente est y = f'(a)(x-a)+f(a) or a=1.

[invite8937d22e]

f'(1)=e ; f(1)=ex-e , donc on a y= e+(x-1)+ex-e ; y= ex-e + ex-e

[invite8937d22e]

nn y= e+(x-1)=ex-e

[invite8937d22e]

et f(1)=0

[invite8937d22e]

on me demande de démontrer que l'équation f(x)=0 admer une seule solution notée α dans ]0,1/e[
je doit resoudre 1/2(lnx)²+ex-e=0 c'est bien sa?

[invite35452583]

on me demande de démontrer que l'équation f(x)=0 admer une seule solution notée α dans ]0,1/e[
je doit resoudre 1/2(lnx)²+ex-e=0 c'est bien sa?

Pas forcément (je ne pense pas qu'on puisse la calculer de manière exacte mais parfois on a des surprises).
Mais il existe des théorèmes qui permettent de montrer l'existence et l'unicité de solution à une équation sans avoir néanmoins à la déterminer de manière exacte (théorème des valeurs intermédiaires, théorème de la bijection...)

[invited7f87af7]

bonjour a vous tous je suis sur ctte exercice pouvez vous m'aidez ? merci d'avance
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soit f la fonction définie sur R par:f(x)=x+-----
x²+1
a) tracer Cf,courbe représentative de f ,dans un repére orthonormal