Question de Probabilité

[invite742f1056]

Bonjour,
Je ne sais pas si c'est le bon endroit pour poser cette question ou pas:

Quatre hommes déposent leurs chapeaux au vestiaire en entrant dans un restaurant et choisissent au hasard en sortant 1 des 4 chapeaux. calculer les probabilités quand aucun des quatre hommes ne prend son propre chapeaux.

Je sais qu'il y a 24 issues possibles. Mais je ne sais pas comment on compte les issues favorables, à savoir,celles qui ont ni le numéro un en première position, ni le deux en deuxième, ni le trois en troisième et ni quatre en quatrième. ça fait neuf issues mais est-ce qu'on est obligé d'écrire toutes ces issues et compter celles qui sont favorables?

Merci d'avance,
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[invite844a201d]

ben il n'y a qu'une seule issue favorable.
Supposons que le premier qui tire soit le chapeau n°1, le 2e le chapeau n° 2 etc (quand ils sont entrés), le premier a le choix entre 4 chapeaux, le 2e 3 chapeaux le 3e 2 chapeaux et le 4e 1 seul chapeau donc comme tu as dit il y a 24 tirage possibles.
il est évident que le seul tirage gagnant c'est que le premier tire le chapeau n°1, le deuxième le chapeau n°2...
Donc P=1/24

[invité576543]

Le calcul du message précédent est incorrect (idée : relire la question).

Je sais qu'il y a 24 issues possibles. Mais je ne sais pas comment on compte les issues favorables, (...)mais est-ce qu'on est obligé d'écrire toutes ces issues et compter celles qui sont favorables?

24, ce n'est pas énorme, pourquoi ne pas le faire ?

Cela donnera la réponse (qui me semble aussi être 9), et peut-être aussi des indices pour comment calculer la même chose pour n personnes, n quelconque.

[Sinon, indice pour la méthode de calcul : penser en termes de permutations et à leur décomposition en cycles.]

[invite844a201d]

pardon je n'ai pas repondu à la bonne question!

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite742f1056]

Le calcul du message précédent est incorrect (idée : relire la question).



24, ce n'est pas énorme, pourquoi ne pas le faire ?

Cela donnera la réponse (qui me semble aussi être 9), et peut-être aussi des indices pour comment calculer la même chose pour n personnes, n quelconque.

[Sinon, indice pour la méthode de calcul : penser en termes de permutations et à leur décomposition en cycles.]

Merci pour ta réponse. Mais si on avait 24 chapeaux au lieu de 4; Est-ce n'était pas énorme?

[Médiat]

Bonjour,

Si j'appelle P(n) le nombre de cas favorables pour n chapeaux
on a P(1) = 0, P(2) = 1.
Pour fabriquer une solution avec n+1 chapeaux, on peut partir d'une solution avec n chapeaux, et on permute l'un des n chapeaux avec le dernier, ce qui donne nP(n) solutions, mais on peut aussi partir d'une solution à n-1 chapeaux, et permuter le n^ième avec le dernier, ce qui donne nP(n-1) solutions ; et il me semble que ce sont les seules possibilités.

In fine on a la relation de récurrence :

P(n+1) = n(P(n) + P(n-1))
Ce qui permet de calculer rapidement P(3) = 2, P(4) = 9 ... et P(24) de l'ordre de 2.28 10²³.

Ces calculs étant faits à 5h du matin, je serais content que quelqu'un puisse les confirmer (un programme simple devrait permettre de compter rapidement jusqu'à n = 7 ou 8).

[EDIT]Je viens de vérifier les calculs (facile avec un tableur) avec OEIS : cela a l'air correct.

[invité576543]

Juste pour confirmer la relation, qui est la même que celle trouvée par un proche.

J'en avais une bien plus lourde, en distribuant sur le nombre de points fixes :

, avec la convention P0=1

Les deux coïncident aussi loin qu'on a eu le courage de calculer à la main.

Enfin, pour les petits nombres, jusqu'à 7 ou 8 aisément, on peut compter les cycles.

Par exemples pour 5, on a (5-1)!=24 cycles à 5, et C(5,3)x1x2=20 combinaisons d'un cycle de longueur 3 et d'un cycle de longueur 2, soit un total de 44, ce qu'on trouve par les deux récurrences.

[invite844a201d]

Médiat: "Si j'appelle P(n) le nombre de cas favorables pour n chapeaux
on a P(1) = 0, P(2) = 1.
Pour fabriquer une solution avec n+1 chapeaux, on peut partir d'une solution avec n chapeaux, et on permute l'un des n chapeaux avec le dernier, ce qui donne nP(n) solutions, mais on peut aussi partir d'une solution à n-1 chapeaux, et permuter le nième avec le dernier, ce qui donne nP(n-1) solutions ; et il me semble que ce sont les seules possibilités"

Comment tu fais pour savoir qu'il n'y a que ces possibilités??

[Médiat]

On peut toujours fabriquer une permutation de n+1 éléments à partir d'une permutation de n éléments et en ajoutant le n+1 à la fin puis en transposant le chapeau n+1 avec un autre (ou en ne le bougeant pas)
1) Si on ne bouge pas le dernier la permutation ne convient pas
2) Si les n chapeaux précédents répondent à la question (0 point fixe), toutes les transpositions avec le n+1 vont convenir (les deux transposés ne seront pas à leur place)
3) Si les n chapeaux précédents ont 1 point fixe (et donc n-1 qui répondent à la question), la seule solution (une pour chacun des n points fixes possibles) est de transposer ce point fixe avec le n+1
4) Si les n chapeaux précédents ont 2 point fixes ou plus, il est impossible d'obtenir aucun point fixe avec une seule transposition à partir de 3 points fixes (le 2 plue le n+1 avant changement) ou plus.

Les seuls cas qui marchent sont les cas 2 et 3.

[invite742f1056]

Merci à tous. Mais est-ce qu'on peut tout simplement s'imaginer qu'il a 4 événements et pour chacun on a: 4-1 issues qui surviennent.
Si le premier cas favorable est de ne pas avoir 1 dans la 1er position donc: P(1)=0, P(2)=1, P(3)=1 et P(4)=1
Et puisqu'ils sont les événements qui s'opposent, on les additionne et on aura 3 événements dont le produit donne 9?