Fonction courbe représentative et tangente

[invite2752de00]

Bonjour à tous, voilà un DM qui me donne du fila retordre :

SoitT la fonction numérique de la variable réelle x telle que : T(X)=3x²+ax+b/x²+1

Déterminer les réels a et b pour que la courbe représentative de T soit tangente au point I de coordonées (0;3) à la droite D d'équation y=4X+3


Donc je pensais utiliser le théorème liant la dérivée au coefficient directeur puis utiliser la formule de la tangente avec f'(a) mais je ne vois pas comment dériver la fonction initiale surtout avec un a et b inconnu ??
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[invitef47010ed]

Tu calcules ta dérivée classiquement, et tu considères que a et b sont des constantes inconnues.
Par exemple (ax²+b²)'=(2ax+0)

[invite2752de00]

Euh je suis en TS cette méthode ne me dit rien je ne l'ai jmais utilisé peux tu expliciter ?

[invite6ed3677d]

Bonsoir,
Il s'agit en fait de chercher a et b, donc on va les considérer comme des constantes puis après comme des inconnues.

La première étape consiste donc à dériver T par rapport à l'inconnue x en considérant a et b comme des constantes (comme l'a expliqué Eogan). Puis, on évaluera la dérivée au point I (0;3), c'est à dire pour x=0. Ceci nous donnera une indication sur le couple a;b. Puis, avec l'équation de la tangente D, on obtiendra une seconde indication. En traduisant ces 2 indications en équations, on aura 2 équations avec 2 inconnues (a et b). Et là ... c'est gagné !
Bon courage

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite2752de00]

Ok merci mais est ce que vous pourriez me donner un petit coup de pouce pour dériver en prenant a et b comme constantes ? je ne vois pas trop comment faire.

[invite2752de00]

en dérivant bizarrement on trouve : 6x+axcube+ax-2ax²-2bx/(2x+1)²

Pfiouh que faire de ça ?

[invitef47010ed]

Hum je crois que tu n'as pas vraiment saisi le truc...
Je détaille le calcul de la dérivée:
Soit f(x)=(3x²+ax+b)/(x²+1)
De la forme u/v avec u = 3x²+ax+b
et v=x²+1
La dérivée sera de la forme (u'v-uv')/(v²)
u'=3*2*x+a*1+0=6x+a
v'=2x+0=2x

Donc f'(x)=[(6x+a)(x²+1)-(3x²+ax+b)(2x)]/(x²+1)²
=[6x^3+6x+ax²+a-6x^3-2ax²-2bx]/(x²+1)²
=[6x-2bx+ax²-2ax²+a ]/(x²+1)²
=[x(6-2b)-ax²+a]/(x²+1)²
Sauf erreur de ma part
Maintenant tu utilises la méthode de Tonton Nano

[invite2752de00]

humm ok merci donc ensuite on évaluera la dérivée pour x=0. Cela siginifie quoi ? Qu'il faut calculer la dérivée pour f'(0) ?

[invite6ed3677d]

Bonsoir,
Oui, une fois que tu as la dérivée, tu cherches pour quelles valeur de a et b la fonction est tangente à la droite au point I.
Par conséquent, tu veux que le coefficient directeur de la droite doit égale à la pente de la fonction en I c'est à dire à f'(x=0).
Ca va te donner une équation.
Etant donné que tu as 2 inconnues (a et b), il te faut au moins une seconde équation. Elle viendra de la tangente, c'est à dire que I appartient à la fois à D et à f ...
Aller, bonne chance

PS : au fait, c'est pas f mais T ....

[invite2752de00]

si je remplace x par 0 dans la dérivée je trouve a/1 ce qui me parait un peu stupide non ?

J'avoue être décramponné.

[invite6ed3677d]

Non, c'est pas stupide ... tu sais maintenant que la valeur de la dérivée en I (c'est à dire a) vaut la pente de la droite D c'est à dire 4 ...

Maintenant, b ...

[invite2752de00]

ok je remplace maintenant x par 3 dans la dérivée ? du point (0;3)

[invite6ed3677d]

ah non !!!

La dérivée sert pour le coeff directeur de la droite. C'est fait, c'est fini, on n'en parle plus.

Maintenant, tu sais que la tangente "touche" la courbe de T au point I donc que les valeurs de D et T en I sont égales donc tu remplaces x par 0 dans les expressions de D et T (au passage tu retrouves que y=3 pour la droite) et tu obtiens la valeur de b qui fait que la courbe de T est tangente à D au point I.

[invite2752de00]

j'ai remplacé x par 0 dans l'équation de D et j'arrive a b/1 et a y=3 dans l'équation de la tangente.

Mais je ne vois pas comment on peut trouver la valeur de b ?

SAcré pétard! C'est complexe comme exercice.

Merci de votre patience.

[invite6ed3677d]

Pour que T et D soient tangentes au point I, il faut que leurs valeurs y soient égales.
Ca veut dire que D(0)=T(0)
Tu as trouvé D(0)=y=3 et T(0)=b donc b=3
De même, avec la dérivée, tu as trouvé que a=4 donc la question est résolue !

Je récapitule pour que tu comprennes bien le raisonnement :
une tangente à une droite en un point passe par ce point : en langage maths ca veut dire T(0)=D(0).
une tangente présente la même pente que la droite en ce point : idem, ca veut dire T'(0)=4 (le coeff directeur).

Avec ces 2 infos, on peut trouver les 2 inconnues a et b !

Si tu as une calculatrice graphique ou un logiciel de math, je t'invite a tracer la courbe de T (en remplacant a par 4 et b par 3) et à ajouter la droite D. Regarde ce qui ce passe au point I et tout est clair ! Si tu es curieux, tu peux changer a ou/et b pour voir ce que ca fait. C'est comme ça qu'on comprend.

[invite2752de00]

Ah ok !! Merci pour cette dernière récapitulation, j'y vois nettement plus clair. Pour conforter la compréhension je vais en effet changer les valeurs a et b puis tracer sur la calculatrice.

MErci encore !

[invite8b66b5e4]

Bonsoir à vous, j'ai une question presque identique dans mon DM, la différence étant que la droite à pour équation y=4x et que la tangente à la courbe représentative de la fonction est parallèle à la droite. J'ai compris pour la première partie avec la dérivée de f(x) mais à partir de là je suis perdu, Ça fait 30 min que je cherche et aucune idée de quoi faire. Je commence à être à cours de temps alors j'aurais besoin, sois d'un miracle, sois des calculs ou d'au moins le début pour pouvoir arriver au résultat de a et b. Je sais qu'il est tard mais merci d'avance pour toute aide

[invite51d17075]

jr, tu ne précises ni ta fonction, ni parallèle à quelle tangente.
La tangente à la courbe de f(x) au point (a;f(x)) a pour équation
Ta(x)=f(a)+(x-a)f'(a) soit
Ta(x)=f'(a)x +f(a)-af'(a)
deux droites sont // si leur coéefficient directeur sont identique.
celui de la droite y=4x vaut 4
donc dire que cette droite est // à la tangente à la courbe au point (a;(f(a)) revient à dire que
f'(a)=4

[invite8b66b5e4]

Comme dis précédemment, tout est identique au sujet de Bob à pars les points cités. La fonction est f(x)=(3x^2+ax+b)/x^2+1. Le sujet dis "déterminer les réels a et b pour que la tangente T à la courbe représentative de la fonction f au point I de coordonnées (0;3) soir parallèle à la droite d'équation y=4x".
Ça fait 3h que je suis sur ce DM et franchement je commence à vraiment plus réussir à comprendre quoi que ce soit à cause de la fatigue. Si tu réussi(e) à me permettre de boucler ce carnage, c'est que vraiment t'es fort(e) et je t'en suis reconnaissant

[invite51d17075]

il faut déjà que ta courbe passe par le point (0:3)
indice tu peux écrire ta fonction
f(x)=(3(x²+1)-3+ax+b)/(x²+1) soit
f(x)=3+(ax+b-3)/(x²+1)
à moins que ta fonction soit
f(x)=(3(x²+1)-3+ax+b)/(x²)+1 ( le 1 n'étant pas dans le dénominateur )
impossible d'aller plus loin si il y a imprécision sur la fonction.

[invite51d17075]

j'ai écrit la première formulation par intuition ( oubli des parenthèses pour dénominateur très fréquent )
la seconde serait formellement celle que tu écrites. Mais j'en doute, car il aurait été écrit :
f(x)=1+p(x)/Q(x)
Un fois la vraie fonction précisée , la première condition est donc que f(0)=3 ce qui donne une première équation pour a et b.
La seconde équation viendra du calcul de la dérivée ( dela bonne fonction ) au point x=0.

[invite8b66b5e4]

Le 1 est bel et bien compris dans le dénominateur. Pour maintenant je m'arrête je reprendrais demain je suis vraiment au bout du rouleau. Merci encore de prendre le temps de me répondre malgré l'heure, je vous souhaite une bonne nuit

[invite51d17075]

ps : tu n'as pas mis non plus de parenthèses au numérateur, je suppose qu'elles y sont aussi !???

[invite51d17075]

Edit:
toutes les réponses de méthodologie avaient déjà été données auparavant sur ce même exercice.
et je n'avais pas lu ( méa culpa ) les réponses pertinentes déjà données.