Mise en relation de deux fonctions trigo

[inviteee20e3bc]

Bonjour à tous.

Je suis bloqué sur un exercice depuis pas mal de temps et je sollicite donc votre aide pour m'aider à m'en sortir.

On a la fonction

on à posé

premiere question, factoriser après avoir déterminé les racines évidentes. Rien de bien compliqué, en faisant 2 divisions de polynomes successive j'arrive à

ensuite on me demande de montrer que si g(x)=0, alors (cosx)=0

Je suppose donc que g(x) =0 , mais le problème, c'est que je n'arrive pas à exprimmer (x) en fonction de g(x). J'ai tenté de nombreux moyen, transformé des cos² en sin², utilisé la factorisation, rien y fait. Le résultat le plus proche que j'ai obtenu est en développant j'en arrive à , qui est ce que je cherche à une puissance de chaque terme prêt.

Si vous pourriez me donnez une petite astuce pour me débloquer, ce serait vraiment super

Merci d'avance
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[invitec053041c]

Bonsoir.

g c'est f ?

[inviteee20e3bc]

Pardon oui c'est une erreur de frappe de ma part

[inviteee20e3bc]

Personne ne voit d'astuces?

[A voir en vidéo sur Futura]

[Garf]

J'ai une petite idée, confirmée par Maple.

L'idée est de trouver une fonction g partout définie telle que sans passer par l'étude d'un quotient de fonctions trigonométriques.

Astuce : regarde f(x).f(x). On cherche ensuite à éliminer tous les sinus : d'abord change le sinus carré en cosinus carré et constante (identité trigonométrique). Il te reste un sinus à éliminer. Pour cela, soustrait à ton expression f(x).(une fonction bien choisie).
Tu auras alors f(x).(f(x)-(une fonction bien choisie))=P(cos(x)), où P est un polynôme.

Fais les calculs, je te laisse découvrir le polynôme P

[Médiat]

En multipliant par l'expression conjuguée cela marche parfaitement bien

[inviteee20e3bc]

Bonjour

En Faisant la méthode proposée pas Garf, j'arrive à :



Je pense qu'il doit exister une relation entre et f²

[Garf]

Je me suis rendu compte 5 minutes après mon post qu'il y avait quelque chose de bizarre avec ma méthode. Merci Médiat d'avoir montré qu'on pouvait la formuler de façon beaucoup plus simple

Carter 21 : A ce moment-là, il faut soustraire 2cos(x)(1+cos(x))f(x) à droite et à gauche, ce qui te permet d'éliminer les sinus restants à droite et d'avoir une expression factorisée en f(x) à gauche.
Au signe près, et en plus compliqué, c'est ce que propose Médiat.

[inviteee20e3bc]

D'accord, merci à vous mais je n'avais pas compris comment faire avec l'expression conjuguée de cette fonction sinon j'aurais aussi testé celle ci

[inviteee20e3bc]

Super j'ai réussi avec la méthode du conjugué.
je n'y aurais jamais pensé. Ma question est donc: Dans quel cas est il utile voir nécessaire d'utiliser cette méthode et pourquoi y est on authorisé?

Merci d'avance