Démontrer l'équation d'une courbe

[invitec1a69dfa]

Bonjour a tous!

Les deux dernieres questions d'un exercice me posent beaucoup de problemes.

Voila. On me donne les infos suivantes :

- la courbe C est définie sur -3; 3
- elle passe par l'origine O du repère
- elle passe par le point A (-3;9 )
- Elle admet au point B d'abscisse 1, une tangente parallele a l'axe des abscisses


voila la 1ere question consistait a trouver le coefficient directeur d'une tangente de Cf ( pas mentionné dans les caractéristiques de la fonction ).
La 2eme consistait à trouver la représentation graphique de la derivée de C . J'ai adapté la regle : variations de lafonction => signe de la dérivée et j'ai trouvé.
La 3eme question me donnait la " forme " de la courbe C :ax^3 + bx² + cx + d

on me demande ensuite de la deriver ce qui donne 3ax²+2bx+c

Et la, c'est le GROS probleme:

On me demande :

" Montrer, en utilisant les caracteristiques de depart, que a=1/3 , b=1, c =-3 et d =0 "

" puis en déduire l'ordonnée de B, ( son abscisse est 1 ) "

je n'ai absolument rien compris aux deux dernieres questions , merci de m'éclairer !
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[invitec1a69dfa]

En fait je pense que deja, pour repondre a la question 5, il faudrait savoir ce que reprensente le a, le b, le c et le d dans une equation de courbe

[inviteaa8f7e46]

Bsr
ben par exemple pour f(x)=4x³ +3x² +2x+3, tu as a=4, b=3, c=2 et d=3...
Par exemple tu sais que f(o)=0, donc déja tu as d...

[invitec1a69dfa]

jai trouvé pour la derniere question.

En revanche je bloque toujours pour la question ou il faut demontrer l'equation de la courbe.

Meric pour le d=0. Je venais juste de trouver lol.
Mais surtout, comment faire pour les autres dans le cas que j'ai enoncé ? quelqu'un pourrait m'expliquer ? merci

[A voir en vidéo sur Futura]

[shokin]

Dans une courbe d'équation f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d

f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c, là où f'(x)=0, le terrain est plat.
f''(x) = 6ax + 2b, là où f''(x)=0, tu dois tourner le volant dans l'autre sens.

Et tu connais :

f(0)=0
f(-3)=9
f'(1)=0

A priori, 3 équations pour 4 inconnues, ça ne suffit pas.

f(0)=0, donc d=0
- 27a + 9b - 3c = 0
3a + 2b + c = 0

Shokin

[invitec1a69dfa]

Dans une courbe d'équation f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d

f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c, là où f'(x)=0, le terrain est plat.
f''(x) = 6ax + 2b, là où f''(x)=0, tu dois tourner le volant dans l'autre sens.

Et tu connais :

f(0)=0
f(-3)=9
f'(1)=0

A priori, 3 équations pour 4 inconnues, ça ne suffit pas.

f(0)=0, donc d=0
- 27a + 9b - 3c = 0
3a + 2b + c = 0

Shokin

oulalala, merci de ton aide deja, c'est tres sympa...mais j'aimerais quelques precisions :

"là où f''(x)=0, tu dois tourner le volant dans l'autre sens."
Que veux tu dire ?

" Et tu connais :

f(0)=0
f(-3)=9
f'(1)=0

A priori, 3 équations pour 4 inconnues, ça ne suffit pas.

f(0)=0, donc d=0
- 27a + 9b - 3c = 0
3a + 2b + c = 0 "


alors la jai pas compris lol, pourquoi tu faisais des equations, d'ou tu sors le -27a par ex.

Merci d'avance

[invitec1a69dfa]

et tu as fait une derivée de derivée ? oula

[shokin]

Je rectifie :

f(0)=0, donc d=0
- 27a + 9b - 3c = 9
3a + 2b + c = 0

- 9a + 3b - c = 3
3a + 2b + c = 0

- 6a + 5b = 3

Donc on peut exprimer b en fonction de a (ou inversément).

b = (6a+3)/5

- 9a + 3b - c = 3
3a + 2b + c = 0

c = -3a -2(6a+3)/5

= -27a/5 - 6/5 [ce qui reste compatible avec ce que l'on cherche à démontrer ]

Donc a pu exprimer b et c en fonction de a. Cela va-t-il nous aider ?

f(x) = a * x^3 + (6a+3)/5 * x^2 - ((27a+6)/5) * x
f'(x) = 3a * x^2 + (12a+6)/5 * x - ((27a+6)/5)
f''(x) = 6a * x + (12a+6)/5

f(0)=0 (pas plus avancé)
f(-3)= -27a + (54a+37)/5 + ((81a+18)/5)
=9 (pas plus avancé, ce qui est normal)
f'(1) = 3a + (12a+6)/5 - ((27a+6)/5)
=0 (idem)

Mais un truc auquel je songe, c'est le point d'inflexion :

f''(x) = 6a * x + (12a+6)/5

c'est le point d'abscisse -(12a+6)/30a, d'abscisse -(2a+1)/5a

Peut-il nous aider ? sachant que :

soit (i;f(i)) le point d'inflexion d'une fonction du troisième degré

alors f(i+a) = -f(i-a).

Shokin

[shokin]

et tu as fait une derivée de derivée ? oula

Elle ne m'a servi à rien. Je cherche toujours.

Shokin

[invitec1a69dfa]

Le prof nous a donné un indice.

On doit obtenir 2 équations :

27a + 9b - 3c = 9 et 3a + 2b + c = 0

comment resoudre ce systeme ?

[invite9d57a1e0]

Le prof nous a donné un indice.

On doit obtenir 2 équations :

27a + 9b - 3c = 9 et 3a + 2b + c = 0

comment resoudre ce systeme ?

D'abord, il faut que tu exprimes dans tes deux équations une inconnue au choix, par exemple c, en fonction des deux autres. Après, tu obtiens deux égalités du type "c=..." Elles sont alors égales et tu peux exprimer a en fonction de b par exemple, et ensuite c en fonction de b. Tu remplaces a et c par leur expression en fonction de b dans une de tes égalités de départ (la plus simple), et tu trouves b. Ensuite, tu remplaces b par sa valeur numérique dans tes équations de départ et il ne s'agira plus que d'un système de deux équations à deux inconnues... C'est très fastidieux, votre prof n'est pas super sympa! bon courage

[invite7c294408]

2 equations, 3 inconnues et une solution(?) Il y a quelquechose qui m' echappe...

[invitec1a69dfa]

voila donc jai le systeme suivant

27a + 9b - 3c =9
3a + 2b + c =0


donc je cherche C dans la 1ere equation d'ou :
27a + 9b - 3c = 9
- 3c = 9 - 27a - 9b
c = (9/-3 ) - ( 27/-3(a)) - (9/-3(b))
c = ( -3 ) - ( -9a ) - ( -3b )
c = -3 + 9a + 3b

ok

2eme equation:
3a + 2b + c = 0
c = -3a - 2b


Puis, je peux exprimer a en fonction de b ( en remplacant le c) de la 2eme
dans la 1ere:

27a + 9b - 3 ( -3a - 2b ) = 9
27a + 9b + 9a + 6b = 9
36a + 15b = 9
36a = 9 - 15b
a = 9/36 - 15/36 b

:s je fait koi apres, mes calculs sont ils bons ?

[invitec1a69dfa]

je suis assez perdu la...

[invitec1a69dfa]

la methode du systeme me semble impossible...quelqu'un a trouvé ?

[inviteaf1870ed]

Tu as deux équations pour 3 inconnues, donc tu ne peux pas résoudre complètement le problème, mais tu peux exprimer deux des variables en fonction de la troisième. Ici une méthode simple est d'exprimer a et c en fonction de b.

Tu as :
27a + 9b - 3c =9 (1)
3a + 2b + c =0 (2)

En multipliant les deux membres de l'équation (2) par 3 et en additionnant les deux équations tu obtiens

36a+15b=9 soit 12a = 9-5b soit
a=3/4-5b/12

Puis tu remplaces a par cette valeur dans (2) et tu résous c= ...b+...

En prenant b=1 cela te donne les valeurs cherchées.

Note bien que tu peux prendre d'autres valeurs pour b et que la courbe satisfera tes conditions.

[invitec1a69dfa]

errf..je n'ai absolument rien compris lol...peut tu detailler ?

[shokin]

Dans ce système d'équations, tu peux exprimer deux des inconnues à partir de la première.

Comme je l'ai fait, pare exemple, b et c en fonction de a, ou comme ericc l'a fait, en fonction de b.

Et le système est résolu !

Pour ma part :

S(a;bc;d) = (a;(6a+3)/5;(-27a/5)-6/5);0)

Shokin

[invitec1a69dfa]

peut tu me detailler precisemment tes calculs s'il te plait shockin , pour que je puisse comprendre ?

[invitec1a69dfa]

help ! Lol j'ai vraiment du mal !

[shokin]

Bon, on reprends :

-27a + 9b - 3c = 9
3a + 2b + c = 0

Mais ton enseignant semble avoir trouvé, pour la première équation, 27a + 9b - 3c = 9.

A toi de voir qui est dans le champs.

Tu as deux équations à trois inconnues. Alors ne t'étonne pas de ne pas trouver une unique solution (plus d'inconnues que d'équations, comme dans x+y=0 ).

Commençons par le plus évident : je peux simplifier la première équation par 3.

-9a + 3b - c = 3
3a + 2b + c = 0

Je peux maintenant additionner les deux équations, pour que (+c) et (-c) s'éliminent de facto.

-6a + 5b = 3, une équation à deux inconnues, qui me permet d'exprimer l'une en fonction de l'autre. Je choisis de tout exprimer en fonction de a.

Je vais donc chercher à isoler b.

5b = 3 + 6a
b = (3 + 6a)/5

J'ai exprimé b en fonction de a.

Je peux alors prendre une des deux équations et y remplacer b par (3+6a)/5.

3a + 2b + c = 0

c = - 3a - 2b

= - 3a - 2*(3+6a)/5
= - 3a - 6/5 - 12a/5
= -27a/5 - 6/5

J'ai donc également réussi à exprimer c en fonction de a.

J'ai donc pour ensemble solutions :

S(a;b;c;d) = (a;(6a+3)/5;(-27a-6)/5;0)

Dis-moi précisément ce que tu n'as pas compris, sauf si tu as tout compris.

Shokin

[invitec1a69dfa]

J'ai parfaitement compris ton raisonnement shokin merci. Mais le but est de demontrer que a = 1/3, b = 1 et c = -3 or ici , rien ne me semble démontré ?

en fait pour que tout soit bon, il faudrait deja que j'arrive a demontrer que a vaut 1/3 ! ( puisque une fois que j'aurais 1/3 je pourrais remplacer a par 1/3 et je trouverais les autres inconnus . )

[shokin]

J'ai parfaitement compris ton raisonnement shokin merci. Mais le but est de demontrer que a = 1/3, b = 1 et c = -3 or ici , rien ne me semble démontré ?

en fait pour que tout soit bon, il faudrait deja que j'arrive a demontrer que a vaut 1/3 ! ( puisque une fois que j'aurais 1/3 je pourrais remplacer a par 1/3 et je trouverais les autres inconnus . )

Au vu du nombre d'informations disponibles, nous ne pouvons pas démontrer plus (à moins qu'on ait loupé une information ou une astuce ).

Au vu de ce que j'ai trouvé, (a;b;c;d)=(1/3;1;-3;0) est une solution, parmi d'autres, possible, où a = 1/3.

Voyons donc si on remplace a par d'autres valeurs :

si a = 0, (a;b;c;d)=(0;3/5;-6/5;0)

voyons donc la fonction :

f(x) = 0 * x^3 + 3/5 * x^2 - 6/5 * x + 0
= 3/5 * x^2 - 6/5 * x

f(0)=0
f(-3)=9
f'(1)=0

Tout joue également...

- la courbe C est définie sur [-3; 3]
- elle passe par l'origine O du repère
- elle passe par le point A (-3;9 )
- Elle admet au point B d'abscisse 1, une tangente parallele a l'axe des abscisses

Nous avons 4 informations,

mais la première ne nous avance à rien, que je sache.

Le fait que 0 soit le milieu de l'intervalle [-3;3] ne nous indique en rien que la fonction serait impaire, les bornes -3 et 3 ayant été choisies arbitrairement.$

Shokin

[invite7c294408]

es tu absolument sur de ne pas avoir oublie une hypothese de depart dans ton probleme?
Au depart on a,b,c,d quatre inconnues et que trois valeurs numeriques:
- le point 0,0
- la tangente parallele au point d'abcisse 1
- le point -3,9
Ca ne fait que trois valeurs pour resoudre a,b,c,d. Je ne vois pas comment on peut s'en sortir pour arriver a tes quatre valeurs numeriques. Comme l'a indique Shokin je ne vois pas comment se servir de l'ensemble de definition de ta fonction. Es tu bien sur que c'est un ensemble de definition et pas autre chose? As tu confirme avec ton prof que les hypotheses dans ton probleme etaient completes? Tiens moi au courant.