Extrémum d'une solution à l'équation de Laplace

[b@z66]

Bonjour,

J'ai une question concernant la propriété de ne pas posséder d'extrémum pour une solution à une équation de Laplace avec second membre nul. J'ai essayer de redémontrer cette propriété et j'ai pensé à un moment avoir sans trop de difficulté réussi en voyant (pour une équation avec deux variables x et y) qu'un extrémum mini ou maxi) pouvait impliquer des dérivées secondes non nulles et de même signe pour les deux dérivations partielles du premier membre. Cela induisait donc que leur somme ne pouvait être nulle et montrait que l'équation de Laplace n'était pas respectée dans ce cas là.

Malheureusement, je me suis rendu compte après qu'un extrémum pouvait aussi avoir une dérivée seconde nulle (comme avec des D.L. en x⁴,x⁶,...) et que dans ce cas là cela pouvait détruire complètement mon précédent raisonnement.

Alors voilà ma question, quelqu'un connait t-il une démonstration complète de cette propriété? J'ai bien essayé de le démontrer, chercher sur internet une explication satisfaisante mais je n'ai rien trouvé. Je viens donc ici pour demander vos lumières sachant que vos explications ne pourront que me faire avancer.

Merci.
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[invite9f74ae56]

Qu appelles tu equation de laplace?
Tu parles d un extremum local ou global?

[b@z66]

Qu appelles tu equation de laplace?
Tu parles d un extremum local ou global?

Pour l'équation de Laplace:
http://fr.wikipedia.org/wiki/%C3%89quation_de_Laplace

Mon problème se résume aussi à parler de la fonction solution dont le laplacien est nul.

Mon raisonnement actuel pour f(x,y):
- f admet un maximum en un point si ses deux dérivées secondes par rapport à "x" et "y" y sont négatives donc le laplacien ne peut pas être nul car il devient négatif pour ce point.

- f admet un minimum en un point si ses deux dérivées secondes par rapport à "x" et "y" y sont positives donc le laplacien ne peut pas être nul car il devient positif pour ce point.

Le raisonnement n'est pas complet puisque en réalité une fonction peut également admettre un extrémum même avec une dérivée seconde nulle (voir x⁴,x⁶,...), et c'est ce cas que je veux y intégrer.

PS:J'ai entendu parler de la propriété que la solution de cette équation ne pouvait admettre d'extrémum (local ou global) dans un bouquin, j'essaye simplement de retrouver sa démonstration.

Merci en tout cas de m'aider.

[invite6b1e2c2e]

Salut,

Je te donne deux façons.

La première : Trouver une solution y telle que laplacien(y) a un signe. Regarder u_epsilon = u+ epsilon y, avec epsilon du bon signe. Montrer qu'alors u_epsilon n'a pas de max, et faire tendre epsilon vers 0. Je crois me souvenir que cétait fait dans un vieux sujet d'agreg externe.

2eme : Utiliser la formule de représentation. Essentiellement, cela consiste à démontrer la formule de Cauchy. C'est fait dans LC Evans, Partial Differential Equations.

J'espère que cela te suffira pour conclure proprement.

__
rvz

[A voir en vidéo sur Futura]

[b@z66]

Salut,

Je te donne deux façons.

La première : Trouver une solution y telle que laplacien(y) a un signe. Regarder u_epsilon = u+ epsilon y, avec epsilon du bon signe. Montrer qu'alors u_epsilon n'a pas de max, et faire tendre epsilon vers 0. Je crois me souvenir que cétait fait dans un vieux sujet d'agreg externe.


2eme : Utiliser la formule de représentation. Essentiellement, cela consiste à démontrer la formule de Cauchy. C'est fait dans LC Evans, Partial Differential Equations.

J'espère que cela te suffira pour conclure proprement.

Merci pour ta réponse, la première solution que tu m'as proposé me semble intéressante même s'il me semble ne pas tout comprendre dans la démarche. Personnellement,
je pensais qu'il fallait démontrer la propriété que dans n'importe quel cas d'extrémum en un point (x,y), on avait dans tous les cas des dérivées seconde non nulles pour (x^+ou-,y^+ou-) avec un signe positif en cas de minimum et un signe négatif en cas de maximum. Cela est évident avec une seule dimension (x) mais avec deux (x et y), je n'arrive pas à passer le cap: les seules choses que l'on peut dire c'est que d²f(x^+ou-,y)/dx² et d²f(x,y^+ou-)/dy² peuvent être non nuls. Voilà pour ma part où j'en étais.


Pour ton explication:
"Trouver une solution y telle que laplacien(y) a un signe."
S'agit t'il d'une démonstration par l'absurde sachant que je m'intéresse au cas ou laplacien(y)=0.

"Regarder u_epsilon = u+ epsilon y, avec epsilon du bon signe."
Que représente u_epsilon, une solution de l'équation? De même pour epsilon y?
Je suis un peu perdu même si cela me semble la bonne voie, peux tu détaillé un peu plus la démarche ???

Pour la solution avec la formule de Cauchy: S'agit t'il de celle ci?
http://www.bibmath.net/dico/index.ph...auchyform.html
J'ai fait un peu d'analyse complexe mais ta deuxième solution me semble assez loin de ma compréhension.

[invite6b1e2c2e]

Merci pour ta réponse, la première solution que tu m'as proposé me semble intéressante même s'il me semble ne pas tout comprendre dans la démarche. Personnellement,
je pensais qu'il fallait démontrer la propriété que dans n'importe quel cas d'extrémum en un point (x,y), on avait dans tous les cas des dérivées seconde non nulles pour (x^+ou-,y^+ou-) avec un signe positif en cas de minimum et un signe négatif en cas de maximum. Cela est évident avec une seule dimension (x) mais avec deux (x et y), je n'arrive pas à passer le cap: les seules choses que l'on peut dire c'est que d²f(x^+ou-,y)/dx² et d²f(x,y^+ou-)/dy² peuvent être non nuls. Voilà pour ma part où j'en étais.


Pour ton explication:
"Trouver une solution y telle que laplacien(y) a un signe."
S'agit t'il d'une démonstration par l'absurde sachant que je m'intéresse au cas ou laplacien(y)=0.

"Regarder u_epsilon = u+ epsilon y, avec epsilon du bon signe."
Que représente u_epsilon, une solution de l'équation? De même pour epsilon y?
Je suis un peu perdu même si cela me semble la bonne voie, peux tu détaillé un peu plus la démarche ???

Ce que je dis, c'est que tu t'intéresse à un point de maximum de u+ une petite perturbation en epsilon y, et tu veux montrer que ça n'existe pas. Si tu arrives à montrer que cette fonction n'a pas de maximum, tu as gagné. Enfin, je crois, j'ai un doute maintenant que je le dis.
En fait, je me souviens qu'il est assez facile de voir que u n'a pas de maximum si -laplace(u) >0, n'a pas de minimum si -laplace(u) <0. Après, quand laplace(u) =0, il faut essayer de se ramener à ces deux cas, là, par exemple, en approchant tout ça par une fonction du type epsilon ((x-x°)^2+(y-y°)^2). au voisinage de ton extremum (x°,y°). Bon courage pour vérifier les détails.

Pour la solution avec la formule de Cauchy: S'agit t'il de celle ci?
http://www.bibmath.net/dico/index.ph...auchyform.html
J'ai fait un peu d'analyse complexe mais ta deuxième solution me semble assez loin de ma compréhension.

Non, non, ça fait peur, mais ce n'est pas dur. Je fais en effet référence à cette formule de Cauchy (celle sur la sphère, amsi il y a la même sur la boule) Pour la démontrer, je ne pense pas qu'il faille utiliser de l'analyse complexe.

En tout cas, tu peux toujours te convaincre que si c'est vrai sur une boule, il est facile de voir que ta solution n'admet d'extremum local que si elle est constante.

__
rvz

[b@z66]

En fait, je me souviens qu'il est assez facile de voir que u n'a pas de maximum si -laplace(u) >0, n'a pas de minimum si -laplace(u) <0. Après, quand laplace(u) =0, il faut essayer de se ramener à ces deux cas, là, par exemple, en approchant tout ça par une fonction du type epsilon ((x-x°)^2+(y-y°)^2). au voisinage de ton extremum (x°,y°). Bon courage pour vérifier les détails.

Merci pour ton aide, je vais essayer de voir de ce coté là.

By.

[b@z66]

Non, non, ça fait peur, mais ce n'est pas dur. Je fais en effet référence à cette formule de Cauchy (celle sur la sphère, amsi il y a la même sur la boule) Pour la démontrer, je ne pense pas qu'il faille utiliser de l'analyse complexe.

En tout cas, tu peux toujours te convaincre que si c'est vrai sur une boule, il est facile de voir que ta solution n'admet d'extremum local que si elle est constante.

rvz

Merci rvz, cette piste m'a permis de trouver sur le net la démonstration du truc: il suffisait de montrer que le flux du gradient de la solution à l'équation était nul sur une surface fermé pour tout comprendre (en appliquant le théorème de green-ostrograsky, cela revenait à intégrer le laplacien dans le volume, d'où le résultat nul). Comme dans le cas d'un maximum où d'un minimum, le gradient diverge ou converge de ce point, le résultat de son intégration sur une sphère entourant le point ne peut être nul. Conclusion: la solution à l'équation de laplace n'a pas d'extremum.

Je l'ai trouvé ici:
http://www.mathpages.com/home/kmath330/kmath330.htm

Encore merci. By.